[M2 Seminar I] Final : arXiv에 업로드

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2013년 7월 31일 (수) 지도교수로부터 논문을 arXiv에 올려달라는 메일을 받았다. 투고 저널 관계자로부터의 메일도 전달  받았다. arXiv에는 처음 업로드 해 보는 것인지라, 또 나 혼자만의 연구가 아닌지라, 신중하게 업로드 했다. 아래 링크를 클릭하면, 논문을 다운받아 볼 수 있다. http://arxiv.org/abs/1307.7890 이것으로 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 11 : 최종본의 완성

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2013년 7월 29일 (월) 드디어 최종 검토를 마치고 지도교수에게 모든 것을 전송했다. 이후 지도교수가 몇몇 문자들을 수정하였고, 계산을 몇 줄 생략하거나 보기좋게 다듬었다. 나 또한 그에 동의했고 비로소 완전한 논문 최종본을 받았다. 이제 투고하기만 하면 된다. 지도교수가 일전에 나에게 투고 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 10 : 사소한 계산 실수

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2013년 7월 15일 (월) 증명 끝 부분에서 계산실수가 조금 발견되었다. 결국 2개의 Theorem으로 구성되었던 논문이 3개의 Theorem으로 구성되게 되었다. 추가적으로 특정한 비선형항을 예시로 들어서 Remark도 하나 더 넣었다. 애초의 Theorem에서 조금 약해졌긴 했지만, 논문에 크게 영향을 미치는 것은 아니었다. 다른 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 9 : 약간의 수술

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[latexpage] 2013년 7월 12일 (금) 금주에 지도교수로부터 순서를 좀 변경하면 좋을 것 같다는 메일을 받았다. 기존의 것은 특별한 비선형 항을 먼저 언급하고 그것에 대해 증명했다. 그 후 그것을 일반화시킨 항에 대한 증명을 실었다. 하지만, 이번에 수정한 것은 둘의 순서를 교환한 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 8 : 조금 쉬어가기

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[latexpage] 2013년 7월 8일 (월) 거의 한 달 만에 세미나가 시작되었다. 지도교수도가 이런저런 출장으로 바쁜 한달을 보냈기 때문이다. 한 달 동안 내게 “다른 문제들을 찾아보고 자유롭게 연구해 보세요” 라는 지령을 받았지만, 결과적으로 하나도 결과가 나온게 없다. 가장 많은 시간을 들인 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 7 : 논문 초안을 완성하다

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[latexpage] 2013년 6월 7일 (금) 오늘 세미나에서 일단 이 연구를 마무리했다. 최종적으로 얻어진 결과를 말로 표현하자면 “조그맣고 귀여운” 그런 느낌이다. 비선형항이 특정 조건을 만족하면 $(\log t)^{-1/2}$ 만큼의 추가적인 time-decay가 나와준다. 별 문제 없이 세미나 발표를 끝내고 지도 교수와 출판에 관한 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 6 : 끝이 보이기 시작하다

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2013년 5월 30일 (목) Fourier series가 포함된 계산들을 하다보니, 개념은 간단한 것인데도 불구하고 수식이 너무 복잡해져 버렸다 OTL. 내일이 세미나인데 빨리 다른 표현을 찾지 않으면… 아래는 작업하던거 일부분 복사+붙여넣기: (이후삭제) 오늘도 계산의 소용돌이 속에서 별이 바람에 스치운다..   2013년 5월 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 5 : System으로의 진화 시작

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2013년 5월 27일 (월) 오늘은 연구실의 다른 석사 2년차 친구들 세미나에 참석했다. 그들도 연구에 별다른 진전이 없는 것은 마찬가지. PDE 전공의 석사들은 (굉장히 뛰어난 경우를 제외하고) 대개 연구 방향이 정해져 있다. 그것은 기존의 결과 (보통 최근 5년-10년 이내)를 모방하여 비슷한 … Continue reading

History of Some Major Works to the Klein-Gordon equations

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Nonlinear Klein-Gordon Equation(NLKG) 의 역사(?)를 간단히 정리해 보았습니다. 방정식 자체의 역사는 길지 몰라도, 방정식을 “수학적인 방법”으로 공략해서 성과를 얻어낸 역사는 생각보다 그리 길지 않습니다. 구체적으로 다음과 같은 형태의 NLKG의 역사에 대해 알아보겠습니다. $$(\square +1) u = F(u, \partial u),\;\;\;t\geqslant 0, … Continue reading

Introduction to the Free Klein-Gordon Evolution Group

cfile30.uf.2613924D5199E01D23E5C8

In this post, we introduce the factorization technique to analyze nonlinear Klein-Gordon equation proposed by N. Hayashi which is similar to the nonlinear Schrodinger equation. For this purpose we reduce the original problem by the certain way and we decompose … Continue reading

근황 : Klein-Gordon Equation 연구 (2013년 4월 13일)

일단 NLKG(Nonlinear Klein-Gordon Equation)을 연구하기 시작했습니다. 전부 떠벌리기는 어렵고 개략적으로는 아래와 같은 Cauchy Problem을 연구합니다. $$ (\square + m) u(t,x) = F (u, \partial u), \;\;\; t \geqslant 0, \;\;\; x \in \mathbb R^n \;\;\; \text{with} \;\;\; (u, \partial_t u) … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 1~4 : $\sqrt{\log t}$를 달기 위한 여정의 시작

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[latexpage] 블로그 활동이 너무 뜸해서 연구일지나 쓰려고 합니다. 구체적인 연구내용이나, 세미나 발표자료들은 연구가 끝나는 대로 공개하도록 하겠습니다! 2013년 4월 12일 (금) 본격적인 M2 세미나가 시작되었다. 지도교수로부터 1-dimensional Klein-Gordon equation에 대한 여러 논문들을 추천받아 왔다. 방콕모드를 가동시켜서 일단 받아 온 논문들을 … Continue reading

[Differential Equations II] Final Report

In this report, we study the global existence of solutions to nonlinear dispersive wave equations \begin{eqnarray*}\partial_t^2 u + \frac{1}{\rho^2} |\partial_x|^{2\rho} u &=& \lambda |\partial_t u |^{p-1} \partial_t u\end{eqnarray*} in one space dimension where $0 < \rho \leqslant 2$, $\rho \neq … Continue reading

[M1 Seminar II] Week 8 : Lorentz Invariance of the Wave Equations

Now we will introduce some lemmas for the proof of the global existence theorem for the nonlinear wave equations with quadratic nonlinearities. The exsistence theorem which was proven before gives $n >5$ for the quadratic nonlinearities. But in fact this … Continue reading

[M1 Seminar II] Week 7 : A Global Existence Theorem for Nonlinear Wave Equations

We consider the following initial value problem \[ y_{tt} – \Delta y = f(Dy,\nabla Dy)\;\;\;\;\text{with}\;\;\;\; y(t=0) = y_0,\; y_t (t=0) = y_1 \tag{P} \] with $f \in C^\infty ( \Bbb R^{(n+1)^2}, \Bbb R)$, $\exists \alpha \in \Bbb N$ such that … Continue reading

편미분 방정식 전공 서적 리뷰 (PDE, Partial Differential Equations Book)

이 쯤에서 그간 읽거나 접했던 PDE 전공서적을 리뷰 해 볼까 합니다. 아직 책을 평가할 수준이 절대로 안 되기 때문에 나름대로의 감상평에 불과합니다.   1. F. John. Partial Differential Equations. Springer. Courant의 제자 F. John이 쓴 책입니다. PDE 입문용으로 적당한 것 … Continue reading

[M1 Seminar II] Week 6 : Weighted a priori Estimates for Small Data

For the proof of the global existence theorem of nonlinear wave equations, this a priori estimates is essential as well as the high energy estimates. Also the high energy estimates play an important role in the proof of a priori … Continue reading

[M1 Seminar II] Week 5 : High Energy Estimates

We prove the high energy estimates for the nonlinear wave equation on the nonlinearity $\alpha =1$. In fact, this problem is a special case of the quasi-linear symmetric hyperbolic system with some assumptions. By the help of the previous existence … Continue reading

[M1 Seminar II] Week 4 : Regularities of the Solution and and Improved Existence Theorem

We proved the right-continuity of the solution at the initial time in $W^{s,2}$ which implies the continuity of the whole interval. And by the PDE and Sobolev embedding theorem, we can easily get the regularity in the existence theorem. Also … Continue reading