1옥타브를 왜 하필 12음계로 구분했을까?

Edited by Leun Kim

여러분은 음악을 접하면서 왜 하필 한 옥타브(가령 C~C)를 12개의 음(C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B)으로 나누었는지 궁금해 하셔 본 적이 있나요? 한 옥타브를 5개의 음으로 나누거나, 20개의 음으로 나눌 수도 있을텐데 왜 하필 12음계로 나누었을까요?

그 이유는 사실 상당히 간단합니다. 이 글을 읽고 나시면 그 이유를 명확히 이해하실 거라 믿어 의심치 않습니다 (참고로 아래에 소개되는 주파수의 음들은 현재의 12음계에 존재하지 않는 음들입니다).

음의 pitch가 주파수에 의해 결정된다는 사실은 너무나 유명하죠. 그러면 한 옥타브 차이가 나는 음 두 개의 주파수 차이는 어느정도일까요? 정확히 1:2 입니다. 예를 들어, 아무런 주파수 하나($f_0$ 라고 하겠습니다)를 가져다 주면, 정확히 2배가 되는 $2f_0$의 음을 생각할 수 있습니다. 즉, 어떤 주파수의 2배가 되는 주파수의 음간의 간격을 옥타브라고 합니다. 아래의 간단한 Example을 들어 보시죠. 이제부터 Hz는 생략하겠습니다. 그리고 $f_i$과 $f_j$를 동시에 연주할 경우 $f_i \oplus f_j$라고 표기하겠습니다.

$f_0 = 300$
$2f_0 = 600$
$f_0$ $\oplus$ $2f_0$


어떠신지요? 두 음을 동시에 들으시니 별로 거부감이 없으시죠? 즉 수학적으로 가장 ‘간단한’ 정수비 1:2로 이루어진 화음을 들었을 때 우리는 마음의 안정을 찾게 됩니다. 즉, 주파수 차이가 2배 나는 음 두개는 ‘거의’ 같습니다. 그렇다면 여기서 하나의 의문이 있겠죠. ‘그 다음으로 간단한 정수비인 1:3은 어떨까?’ 아래의 Example을 들어 보시죠.

$f_0 = 300$
$3f_0 = 900$
$f_0 \oplus 3f_0$


어떤가요? 1:2보다는 아니지만 그래도 어느정도 들어줄 만 합니다(그렇지 않으신 분들도 일단은 인정해 주시기 바랍니다). 그런데 $f_0$를 3배 하니까 주파수가 너무 커져 버렸습니다. 즉 $f_0$에 비해 음높이가 너무 높아져 버렸네요. 우리는 여러가지 이유로 새롭게 생성되는 음들이 $f_0$와 $2f_0$ 사이에 있었으면 좋겠습니다. 그렇다면 이 높은 $3f_0$를 대신할 만한 후보가 있나요? 네, 있습니다. 바로 전에 ‘거의’ 같은 음으로 소개한 1:2의 비율을 가진 음입니다. 그렇다면 후보로 $3f_0 / 2 = 1.5 f_0$ 라는 음을 생각할 수 있겠죠. 이제 $f_0$와 $1.5 f_0$를 같이 연주해 보겠습니다.

$f_0 = 300$
$1.5f_0 = 450$
$f_0 \oplus 1.5f_0$


네, 확실히 듣기 편해졌네요. 그렇습니다. 이렇게 얻어진 화음은 그 옛날부터 ‘완전 5도’라고 불려지고 있는 화음입니다. 하지만 지금 여러분이 듣고 계신 이 화음이 ‘진짜‘ 완전 5도 화음입니다. 그렇다면 여러분들이 접하고 계신 음악들에 쓰이는 완전 5도 화음(예를 들어 도와 솔)은 ‘가짜‘라는 말인가요? 네, 가짜입니다. 여러분들이 듣고 계시는 음악들 모두 이 완전 5도 화음의 주파수비가 1:1.5가 되지 않습니다. ‘그거야 물론 악기나 프로그램의 오차 때문이 아닌가요?’ 라고 하신다면, 아닙니다. 애초에 악기를 제조할 때나 음악을 만들 때 부터 도와 솔의 주파수 차이를 1:1.5를 맞추려고 노력하지 않습니다. 대신 1.5보다 약간 작은 값(1.498)을 맞추려고 노력합니다. 그 이유는 글을 다 읽으시면 알게 됩니다.

자, 지금까지 우리는 임의의 주파수 $f_0$로부터 $2f_0$와 $1.5f_0$를 얻었습니다. 현재 이 3음 모두 $[f_0, 2f_0]$의 인터벌 안에 있습니다. 이제 이 인터벌 안에서 더 많은 음들을 찾고 싶습니다. 이제 생각할 수 있는 음은 새롭게 얻어진 $1.5f_0$와 1:3의 비율을 갖는 음, 즉 $4.5f_0$ 입니다. 하지만 이 $4.5f_0$ 역시 너무나 높은 음이군요. 따라서 아까처럼 $4.5f_0$의 절반의 주파수를 가지는 음 $2.25f_0$를 생각합시다. 하지만 이 음 역시 $[f_0, 2f_0]$안에 들어가지 않습니다. 따라서 또 이 음의 절반의 주파수를 가지는 음 $1.125f_0$를 생각합니다. 다행히 이번에는 인터벌 안에 들어 있군요. 이제 $1.5f_0$로부터 얻어진 $1.125f_0$를 들어 보시죠.

$1.5f_0 = 450$
$1.5f_0 * 3 / 2^2 = 337.5$
$1.5f_0 \oplus 1.125f_0$


그렇습니다. 이렇게 얻어진 음$1.125f_0$는 또 다시 $1.5f_0$의 완전5도 화음이 됩니다. 눈썰미가 빠른 분들은 눈치채셨겠지만, $1.125 f_0$는 $(1.5)^2 f_0 /2$로도 쓸 수 있습니다. 네, 다음으로는 이 새로운 음$1.125f_0$의 완전 5도를 또 찾아 보아야 겠죠. 즉, “일단 3배 하고 나서 우리의 인터벌 안에 들어올 때 까지 (1/2)배를 하는 작업“을 수행합니다. 그렇게 하면 우리는 $1.125 f_0 * 3 /2 = (1.5)^3 f_0 /2 = 1.6875f_0$라는 음을 얻을 수 있습니다. 이렇게 얻어진 음은 물론 $1.125f_0$와 완전 5도의 관계입니다. 이제 이 작업을 계속해서 반복하고 싶습니다.

여기서 잠깐, 지금까지 얻은 음들을 정리해 봅시다. 먼저 임의의 $f_0$로부터 출발하여, $2f_0$를 생각했고, $f_0$의 완전 5도 $1.5f_0$를 얻었습니다. 편의상 $1.5 f_0 = f_1$이라 하겠습니다. 또 이 $f_1$으로부터 완전5도인 $1.125f_0$를 얻었습니다. 편의상 $1.125 f_0 = f_2$라 하겠습니다. 또 이로부터 $1.6875f_0 =: f_3$까지 얻었습니다.

이 작업을 계속해서 반복하고 싶긴 한데, 언젠간 끝났으면 좋겠습니다. 즉, 이 작업을 유한번 하다 보면 언젠가는 그제까지 나왔던 음들 중 하나와 중복이 되는 음이 출연 해 주었으면 좋겠습니다(대수적 상식이 있으신 분이라면 Cyclic Group을 떠올리시면 됩니다). 일단은 이 작업을 15번 정도 반복해 본 결과를 보시겠습니다. 물론 $f_{i+1}$은 $f_i$와 완전 5도 관계입니다.

Table 1
$f_0 = 300$
$f_1 = 450$
$f_1 = (1.5)f_0$
$f_2 = 337.5$
$f_2 = \frac{(1.5)^2 f_0}{2}$
$f_3 = 506.25$
$f_3 = \frac{(1.5)^3 f_0}{2}$
$f_4 = 379.688$
$f_4 = \frac{(1.5)^4 f_0}{2^2}$
$f_5 = 569.531$
$f_5 = \frac{(1.5)^5 f_0}{2^2}$
$f_6 = 427.148$
$f_6 = \frac{(1.5)^6 f_0}{2^3}$
$f_7 = 320.361$
$f_7 = \frac{(1.5)^7 f_0}{2^4}$
$f_8 = 480.542$
$f_8 = \frac{(1.5)^8 f_0}{2^4}$
$f_9 = 360.406$
$f_9 = \frac{(1.5)^9 f_0}{2^5}$
$f_{10} = 540.61$
$f_{10}=\frac{(1.5)^{10} f_0}{2^5}$
$f_{11} = 405.457$
$f_{11}=\frac{(1.5)^{11} f_0}{2^6}$
$f_{12} = 304.093$
$f_{12} = \frac{(1.5)^{12} f_0}{2^7}$
$f_{13}=456.139$
$f_{13} = \frac{(1.5)^{13} f_0}{2^7}$
$f_{14}=342.105$
$f_{14} = \frac{(1.5)^{14} f_0}{2^8}$
$f_{15}=513.157$
$f_{15}= \frac{(1.5)^{15} f_0}{2^8}$


일단 큰 의미는 없지만, 이 15개의 음들을 주파수가 낮은 음부터 순서대로 재생시켜 보겠습니다.

 
네, 어떻게 들으셨나요? 음과 음 사이의 간격이 우리 귀에 일정하지 않은 것 처럼 들립니다(실제로도 그렇고요). 이것은 당연한 결과입니다. 왜냐하면, 위와 같은 작업을 15번 밖에 시행하지 않았기 때문에, 사이 사이의 음들을 아직 모두 찾지 못했기 때문입니다. 그렇다고 해서 저와 같은 작업을 굉장히 많이 시행한다고 하면, 하나의 스케일에 너무나도 많은 음들이 존재해 버립니다. 그렇다면

‘꽤 많은 음들이 한 스케일에 존재해도 좋아. 그 음들이 유한개라면.’

이라는 생각을 품을 수도 있습니다. 하지만 이것조차 불가능합니다. 불행하게도 우리의 작업은 유한번 시행해서는 절대 끝나지 않습니다. 그 말인 즉슨,

$$ 1.5^n = 2^m $$

을 만족하는 정수해가 (0,0) 이외에 존재하지 않는다는 말입니다. 물론 여기서 $n$은 한 스케일을 구성하는 음들의 수가 되겠습니다. 그렇다고 여기에서 포기할 순 없습니다. 즉, 이제 우리의 전략은 바뀌었습니다.

‘유한 개의 음들($n$)을 얻기 위해 완전5도(1:1.5의 비율)을 어느정도 양보할 수 밖에..’

그렇습니다. 우리는 유한 개의 음들로 하나의 스케일을 구성하기 위해 완전 5도, 즉 주파수 1:1.5의 비율을 포기할 수 밖에 없습니다. 그렇다면 이제부터의 목적은

‘$n$을 어떤 수로 고정했을 때 그나마 완전5도(1:1.5)를 조금이라도 더 유지할 수 있는가?’

로 바뀌게 됩니다. 즉,
$$ p^n = 2^m \;(\text{i.e. } p = p(m) = 2^{m/n}) $$
의 방정식에서 가령 $n = 12$로 고정해 보겠습니다. 그러면, 우리는 다음의 스케일을 얻게 됩니다.

Table 2
$m$
$p(m)$
Frequency[Hz]
0
$2^{0/12} =1.000$
$f_0 = 300$
1
$2^{1/12} \approx 1.059$
$p(1)f_0$
2
$2^{2/12}\approx 1.122$
$p(2)f_0$
3
$2^{3/12}\approx 1.189$
$p(3)f_0$
4
$2^{4/12}\approx 1.260$
$p(4)f_0$
5
$2^{5/12}\approx 1.335$
$p(5)f_0$
6
$2^{6/12}\approx 1.414$
$p(6)f_0$
7
$2^{7/12}\approx 1.498$
$p(7)f_0$
8
$2^{8/12}\approx 1.587$
$p(8)f_0$
9
$2^{9/12}\approx 1.682$
$p(9)f_0$
10
$2^{10/12}\approx 1.782$
$p(10)f_0$
11
$2^{11/12}\approx 1.888$
$p(11)f_0$


이제 위의 표에서 반음을 제외하고 8개의 음($2f_0$까지 포함)을 연속해서 들어봅시다.

 
어떤가요? 여러분이 익히 들어오던 느낌의 스케일이 들리시나요? 네, 그렇습니다. 드디어 우리는 $[f_0, 2f_0]$의 구간을 12개의 음으로 구분했습니다. 그렇다면 잃은 것은 어느정도 될까요? Table 2에서 완전5도(약간의 오차를 가진)의 비율을 살펴봅시다. 가장 간단한 비교로 $m=0$과 $m=7$ 일 때의 $p(m)$의 비를 보면 되겠지요. 즉, 1:1.498 입니다. 뭐 거의 1:1.5에 가깝군요. 꽤나 좋은 수치입니다. 그렇다면 $n=12$가 아니라 다른 경우는 어떻게 될까요? 다양한 $n$에 따라서 정확한 완전 5도(1:1.5)와의 오차를 아래 Table 3 에 계산하였습니다.

Table 3
$n$
Ratio
Error (=|1.5-Ratio|)
2
1.414
0.086
3
1.587
0.087
4
1.414
0.086
5
1.516
0.016
6
1.587
0.087
7
1.486
0.014
8
1.542
0.042
9
1.470
0.030
10
1.516
0.016
11
1.460
0.040
12
1.498
0.002
13
1.532
0.032
14
1.486
0.014
15
1.516
0.016
16
1.477
0.023
17
1.503
0.003
18
1.527
0.027
19
1.494
0.006
20
1.516
0.016
21
1.486
0.014
22
1.506
0.006
23
1.480
0.020
24
1.498
0.002
25
1.516
0.016
26
1.492
0.008
27
1.508
0.008
28
1.523
0.023
29
1.501
0.001
30
1.516
0.016


Table 3에서 알 수 있듯, $n <29$인 모든 경우에서 $n = 12$ 또는 $n = 24$의 Ratio가 1.498로가장 1.5와 가깝습니다($n=24$는 현재 우리가 사용하고 있는 스케일의 반음 사이에 1/4음을 하나씩 추가한 것에 불과합니다). 그 다음 후보로는 $n = 29$가 있겠습니다. $n=12$의 경우보다 오차가 훨씬 작음을 확인할 수 있죠. 즉, 한 옥타브를 12개의 음으로 나눈 것 보다 29개의 음으로 나누면 우리는 조금 더 좋은 완전5도를 얻을 수 있습니다.

동양의 5음 음계(중임무황태 등)의 오차는 Table 3 에서와 같이 0.016으로 그나마 선방한 케이스라고 할 수 있겠네요. 물론 개인적인 생각이지만, n=2,3,4의 경우 오차가 0.086으로 큰 수로 유지되다가, n=5가 되면서 갑자기 오차가 0.016으로 감소하고, 그 이후 다시 현저히 커집니다. 동양에서도 이런 것을 고려한 것일까요?

그 옛날 사람들은 어떻게 이런 사실을 알았을까요? 아마 수많은 시행착오를 거쳤을 거라 생각됩니다. 만약 그 옛날 사람들이 엄청난 청력을 가지고 있었더라면, 한 옥타브를 29개의 음으로 나누었을 지도 모릅니다. 만약 그렇게 되었더라면, 우리는 지금보다 훨씬 더 풍부한 조성과, 화음, 배음을 가지고 다양한 색채의 음악을 듣고 있었을 수도 있습니다.

혹시 모르죠, 미래에는 29음 스케일이나, 혹은 그 이상의 완전 5도의 오차를 줄일 수 있는 더 많은 음들을 사용하게 될지?!

마지막으로 엑셀로 $n=100$까지의 오차를 한 번 그려 보았습니다. 100개의 음 이하로 나누는 경우에는 보시다시피 53개의 음으로 한 옥타브를 나누었을 때 완전 5도와의 오차가 $5.91\times 10^{-5}$로 가장 작음을 알 수 있습니다.

All pitches have been recorded by Sony Sound Forge 7.0

 

 
I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.



26 comments

  • 지금 서양 음계는 바흐가 만들었다던데

    힌두 음악은 22음계라던가..

    화음이 제일 아름다운건 피타고라스때 음계라는 말도 들음, 가장 비례가 잘 맞는

    암튼 졸 수고하셨음 ㄷㄷ

    • ㅇㅇ 그래서 완벽한 완전5도의 비율(1:1.5)을 음악계에선 Pythagorean Ratio라고 부르고 $n=12$인 경우에 생기는 오차를 음악계에선 Pythagorean Comma 라고 부르더군.

  • 순정율과 평균율에 대해서 궁금한게 많았는데 정말 논리정연하게 설명이 되어 있어서 많이 배웠습니다.

    한 가지 덧붙이자면 피타고라스의 순정율에 따르면 3을 곱하고 2로 나누는 방법만 쓴 것이 아니라 거꾸로 2를 곱하고 3으로 나눠주는 방법도 사용해서 12음계를 만들었습니다. 그 과정은 다음과 같죠.

    먼저 도의 주파수를 f라고 했을 때 솔은 f*3/2, 레는 f*3^2/2^3, 라는 f*3^3/2^4, 미는 f*3^4/2^6, 시는 f*3^5/2^7, 그리고 파#은 f*3^6/2^9으로 만들고, 파는 f*2^2/3, 라#은 f*2^4/3^2, 레#은 f*2^5/3^3, 솔#은 f*2^7/3^4, 그리고 도#은 f*2^8/3^5 이렇게 만들어진 것이 피타고라스의 순정율입니다.

    위와 같이 만들어진 피타고라스의 순정율에 12개의 음 사이의 주파수 비율을 계산해보면 약 1.0535배에서 1.0679배로 거의 비슷합니다. 다시 말해서 3을 곱하는 방식을 6번 반복하고 3을 나누는 방식을 5번 반복해서 12음을 만들면 음간격이 거의 비슷한 음계가 만들어진다는 말입니다.

    따라서 바하가 평균을을 만들기 훨씬 이전의 음악인(또는 수학자?)들도 위와 같은 원리로 완전5도를 중심으로 12음계가 자연스럽게 나눠진다는 것을 알았을 것 같네요.

  • 우연인지는 모르겠으나 놀랍게도 고대 터키음악에서는 한 옥타브를 53개의 음으로 구분했다고 한다. 위 그래프에서 보다시피 53은 100이하의 음으로 구분했을 때 가장 완전5도 화음을 정확하게 낼 수 있는 수이다.

  • 아시겠지만 혹시 해서 두가지 사실을 남기고, 또 혹시 대답을 들을 수 있을까 해서 하나의 질문도 남겨 봅니다. 1. 동양 음계에서도 피타고라스 음계와 거의 동일한 방식으로 음계를 만드는데 삼분손익법이라고 합니다. 기준관의 길이의 1/3을 빼고, 새로운 관의 길이의 1/3을 더하고, … 하는 식입니다. 12번 돌았을 때의 오차는 고려하지 못한 것 같습니다. 2. 한 스케일을 이룰 때 오차가 가장 작은 음의 갯수들인 5, 12, 29, 41, 53, 306, … 는 Log3/Log2 를 얼마나 잘 근사할 수 있느냐로 결정됩니다. 이 무리수의 연분수 전개를 해서 적당히 자르는 것을 연분수 근사라고 하는데, 연분수 근사는 “수 x의 한 연분수 근사 p/q 는 분모가 q 이하인 모든 유리수 중에 가장 x에 가까운 유리수” 라는 좋은 근사 성질이 있습니다.Log[3]/Log[2]의 연분수 근사는 대략 [1; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5, 2, 23, … ] 인데요, [1; 1, 1, 2] 는 분수로 쓸 때 분모가 5이고, [1; 1, 1, 2, 2] 까지 근사하면 분모가 12가 됩니다. 그 다음은 41이구요. 절대적인 음감이나 귀찮은 수치 계산 없이도 몇 개의 음을 사용해서 한 스케일을 구성하는 것이 좋을지에 대한 지식을 줄 수 있습니다.

    질문입니다. 중임무황태나 pentatonic 같은 음계들은 정말 많은 문화권에서 발견되기 때문에 일종의 “자연스러운” 음계라고 생각하게 됩니다. 그렇지만, 중임무황태에서 중-임-무-황-태-중 의 간격은 일정하다기보다는 일부러 불균등하도록 짜여진 것 같습니다. 사실 12음계에서 7개의 음을 덜어내고 상속받은 것이지, 실제로 5개짜리 음을 통해 완전5도를 근사하자는 생각과는 거리가 먼 것 같습니다. 이것이 예전부터 좀 흥미로웠는데 어떻게 설명을 못 찾다가, 여기 주인장님께 여쭤봅니다!

    • 오오 그렇군요. 그런 식으로 하면 그 수열을 구할 수 있겠네요. 지적 감사드립니다. 중임무황태 같은 펜타토닉 스케일의 경우 임-무 사이가 다른 음들 간격보다 넓으니까 행인님의 말씀처럼 12음계와 직접적으로 비교하기는 어렵겠네요. 행인님께서 하신 질문은 저도 궁금하군요. 뭐 펜타토닉 스케일의 유래?에 관한 문헌들을 좀 뒤져보면 알 수 있을 것 같습니다.

    • 말씀 감사합니다. 피타고라스가 한 방식이 저런 방식인데 결국 조옮김에 취약하여 완전5도를 포기하는 쪽으로 갔다고 알고 있네요.

  • 잘 봤습니다. 패드에선 음이 재생이 안돼서, 읽어도 뭔 뜻인지 잘 이해가 되지 않았는데 PC로 다시 보니까 이해가 됐습니다.마지막에 29음으로 재생되는 스케일이 있었으면 하는 바람이 드네요. 현재 스케일과 어떻게 다른지…ㅎㅎㅎ

  • 꽤 많은 음들이 한 스케일에 존재해도 좋아. 그 음들이 유한개라면.. 부터
    해당 문단의 굵은 글씨랑 수식이 어떻게 나왔는지… 이해를 못한 사람입니다 ㅠ

    직접 1.5의 n승에 1~2 사이에 들어올 때까지 2를 계속 나누는 작업으로

    서양의 12음계가 어떻게 만들어졌는지는 이해를 했는데요…

    올리신 게시글에 반음을 제외하고 8개의 음이라 하셨는데

    분명 후에 재생되는 장음계에선
    (계이름 기준)미와 파 사이, 시와 도 사이는 반음인 것으로 알고 있어서…

    위의 부분에서 반음의 기준이 어떤 것인지 알려주실 수 있나요??ㅠㅠ

    • 읽어주셔서 감사드려요~
      Table 1에 3번째 열을 관찰하시면, 저런 방식으로 만드는 음들이 모두 어떠한 기준음 주파수의 “$\frac{1.5^n}{2^m}$, $n,m$은 자연수” 의 배수꼴로 나타남을 알 수 있습니다. 결국 이 배수 $\frac{1.5^n}{2^m}$가 $1$이 되어야 본래 기준음을 얻을 수 있게 되는데 이것이 당연히 불가능합니다.

      지적해주신 부분은 제가 실수를 했네요. 감사드려요! 검은건반을 제외하고를 반음을 제외하고로 잘못 썼네요 ㅎㅎ. 말씀하셨듯이 그냥 장음계로 생각하시면 됩니다^^

  • 아. 정말 대단히 감사드립니다. 나이 오십이 되어가는데 심심해서 색소폰을 배우기 시작한 beginner입니다. 음계와 옥타브등 음악적 원리에 대하여 궁굼하여 찾다가 이렇게 명쾌하게 설명을 하신것은 처음 보았습니다. 단번에 100% 이해가되네요. 정말 너무 너무 감사드립니다. 역시 음악의 기초가 튼튼해야 무슨 악기를 하던지 이론과 실체가 맞는것 같습니다. 감사합니다. 

  • 와 잘 보고 갑니다. 수식이랑 기타 등등 다 이해하긴 어렵지만 암튼 엄청 도움이 되었습니다. 음대에서도 음악을 이렇게 수학적인 측면에서 이해할 수 있도록 도와주는 수업이 있다면 정말 좋을텐데요. 학교가 아닌 곳에서라도공부를 할 수 있어 정말 다행입니다.^^ 

    • 안녕하세요. 블로그를 보니 음악에 관심이 많으신 분 같네요. 도움이 되셨다니 다행입니다. 수학보다는 잡학에 가까운 측면이 있지만…

  • 12음계가 왜 12음계인지 설명하는 글은 제가 10여년간 찾아봤던 모든 자료들 중에서 이 글이 처음인 것 같습니다. 정말 훌륭하십니다. 말씀하신대로 29음계를 여러 음악가분들이 연구해서 화음과 작곡법이 개발된다면 정말 새롭고 흥미롭겠네요.

  • 음악에 대해서는 일자무식인 물리전공자 입니다… (악보의 계이름도 잘 못읽습니다…) 하지만 악기에서의 물리학 등에 대해 관심이 많아 음정에 대해 찾던중 글을 읽었는데 정말 명쾌하고 이하하기 좋게 설명이 되어있네요. 감사합니다.