[M2 Seminar I] Week 1~4 : $\sqrt{\log t}$를 달기 위한 여정의 시작

Edited by Leun Kim

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블로그 활동이 너무 뜸해서 연구일지나 쓰려고 합니다.
구체적인 연구내용이나, 세미나 발표자료들은 연구가 끝나는 대로 공개하도록 하겠습니다!

2013년 4월 12일 (금)
본격적인 M2 세미나가 시작되었다. 지도교수로부터 1-dimensional Klein-Gordon equation에 대한 여러 논문들을 추천받아 왔다. 방콕모드를 가동시켜서 일단 받아 온 논문들을 독파하기 시작했다. 일단은 초기치가 복소 함수의 경우 기존의 $L^\infty$ time decay $t^{-1/2}$를 $(\log t)^{-1/2}t^{-1/2}$로 향상시키고, 가능하면 asymptotic behavior까지 얻는 것을 목표로 삼았다.

2013년 4월 19일 (금)
전 주에 가져온 논문들 5개 중 4개를 계산확인까지 마스터했다. 독파하지 못한 하나는 Hayashi 교수의 논문으로 다른 4개보다 적어도 나에게는 상당히! 읽기 까다로웠다. 이 날 아침 10시 30분부터 세미나에서 연구한 내용들을 발표했다. Hayashi 교수의 논문을 제외하고는 모두 Hyperbolic coordinate를 사용하고 있었기 때문에 이 방법을 적용한 결과를 발표했다. 일단 Hyperbolic coordinate $(\tau, z)$ 상의 변환 한 문제는 이전의 방법들을 거의 동일하게 적용할 수 있었다. 하지만 돌아갈 때가 문제였다. 지도교수가 최근에 슈뢰딩거 방정식에 적용한 lemma를 적용할 수 없다는 것을 뒤늦게 깨달았다. 물론 $(\tau, z)$ 평면상에서는 적용 가능하지만 그렇게 해 버리면 돌아갈 수 없다(나중에 말하겠지만 최근에 지도교수의 이 Lemma는 더 강한 것으로 교체되었다). 그래서 일단은 Hyperbolic coordinate를 버리고, Factorization technique을 이용해 Klein-Gordon equation을 인수분해해서 연구하기로 했다. 골든위크 이후까지 Hayashi 교수의 방법이 어디까지 내 문제에 적용될 수 있는지 보고하기로 가닥이 잡혔다.

2013년 5월 10일 (금)
집에서 인내와 고독의 시간을 보내며 결국 나머지 하나, 읽기 어려웠던 논문도 독파했다. 본격적으로 Facorization을 적용해 보기 시작했다. 그 논문에서 사용된 Key lemma들은 미친듯한 계산(?) 덕분에 적합하게 변형하는데 성공했다. 사실 완성하지 못한 계산들도 있었지만, 주변의 적분과 부등식 전문가 친구들에게 도움을 받으면 충분히 해결할 수 있는 것들이었고, 세미나에서도 아마 될 것이라는 반응들이었다. 하지만 더 큰 문제는 그 이후 a priori estimate의 계산 과정이었다. 결과적으로 적합한 a priori estimate 를 얻는데 실패했다. 그 논문에서는 $\mathscr J = \langle i \partial_x \rangle x + it \partial_x$ 라는 operator에 대한 적합한 estimate가 가능했는데, 내 경우는 이 방법으로는 도저히 불가능한 것 처럼 보였다. 다시 말해 그 증명은 그 문제에 딱 맞는것 처럼 보였다. 이 날도 역시 아침부터 세미나가 시작되었다. 물론 이 날 변형에 성공한 lemma들과 왜 적절한 a priori estimate를 얻을 수 없었는지에 대해 발표했다. 반응들을 살펴보니 역시 그렇다는 반응들이었다. 사실 내가 생각하고 있는 문제는 nonlinear term에 $\partial_x u$, $\partial_t u$ 같은 미분항도 포함하고 있는 문제다. 따라서 이런 미분항을 포함하고 있지 않는 문제에 대한 그 논문의 방법을 별 생각없이 그대로 적용하면 이른바 “derivative loss”가 발생해 버렸다. 그 논문의 맨 끝에 Remark로 좀 더 약한 경우(실수함수)에 이 방법이 적용 가능하다고 되어 있는데, 그 말이 결국 거짓말일 수도 있다고까지 말이 나왔다. 왜냐하면.. 만약 그 remark가 참이라면, 내 문제에도 똑같은 a priori estimate를 적용할 수 있고, 그렇게 되면 결국 꽤 근사한 결과가 바로 나와버리기 때문이다. 뭐 그래서 결국 세미나를 끝내고, 지도교수가 일전에 알려준 lemma가 좀 더 강해졌다고 나에게 구체적으로 알려주었다. 그래서 더 강한 초기조건(예를 들면 $C_0^\infty$급)을 주고 Hyperbolic coordinate로 돌아가서 일단 문제를 마무리 짓고 나서, 초기조건을 약화시켜 보기로 가닥이 잡혔다.

2013년 5월 14일 (화)
초기조건이 $C_0^\infty$급인 경우 기존의 time decay에 $\sqrt{\log t}$를 추가하는데 성공했다. 덤으로 $L^p$ time decay까지 얻을 수 있었다. 아직 세미나로 발표는 하지 않았지만, 내가 보기엔 별 문제가 없어 보인다. 만약 세미나에서 검증이 된다면, 석사논문 보험용으로 쟁여 둘 예정이다. 이제부터가 문제이다. “새로운 연구 문제를 찾을 것인가, 더 매진해 볼 것인가” 결국 나에게 가장 어려운 것은 “노력하면 잡을 수 있는 적절한 문제를 발견하는 것”이다.

 

 
I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.



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