[근황] 8월-9월 연구일지 (2014.09.05)

Edited by Leun Kim

8월에는 1차원 Cubic NLKG에서 비선형항이 미분항을 포함하는 경우에 대해 [1]의 방법을 조금 변형하여 방정식을 공략해 보았다. 역시 1년전과 마찬가지로 결과는 실패. 만일 비선형항에 미분항 (가령 $\partial_t u$) 이 없다면 Local Solution을 확장할 수 있게끔 만들어 주는 적당한 A Priori Estimate를 얻는 과정에서 다음과 같이 정의되는 Operator $\mathscr J$
\[
\mathscr J = \sqrt{1-\partial_x^2}e^{-it\sqrt{1-\partial_x^2}}xe^{it\sqrt{1-\partial_x^2}}
=
\sqrt{1-\partial_x^2}x + it\partial_x
\]
가 비교적 잘 작용하게 된다. 그러나 비선형항에 Derivative가 포함되어 버리면 간단히 말해서 $\sqrt{1-\partial_x^2}$ 만큼의 미분 오더에 대한 손실을 입게 되고, 따라서 [1]에서와 같이 $L^\infty$-norm을 $\mathscr J$로 Estimate하는 부등식
\[
\left\|\phi(t)\right\|_{L^\infty}
\lesssim
(1+t^2)^{-1/2} \left\|\phi(t)\right\|_{H^{3/2}}^{1/2}
\left(
\left\|\phi(t)\right\|_{H^{3/2}}^{1/2}
+
\left\|\mathscr J \phi(t)\right\|_{H^{1/2}}^{1/2}
\right)
\]
만으로는 해의 적당한 $L^\infty$-bound를 얻기에 불충분한 상황이 된다. 다시 말해 위 부등식의 우변에 있는 $\left\|\mathscr J \phi\right\|_{H^{1/2}}^{1/2}$ 항에서 $H^{1/2}$의 order가 이 경우에 너무 크다는 것이다(실제로 $H^{1/2}$을 $L^2$정도로 낮출 수만 있다면, 혹은 그에 상응하게 돌아가는 길이 있다면 문제는 해결되는 듯 보인다). 이것은 꽤 근본적인 문제로 결국 이 문제를 해결할만한 적당한 부등식을 찾지 못했고, 잠시 이 문제를 뒤로 제쳐두기로 했다.
 
이후 1차원 Quadratic NLKG System을 좀 파 보았다. 1차원 NLKG의 경우 3차 비선형항이 Critical Case, 2차 비선형항이 Subcritical인 경우이므로 3차 비선형항에 비해 비교적 연구가 되지 않은 분야이다. 데이터가 충분히 작은 경우를 생각할 때는 일반적으로 비선형항의 차수가 낮아질수록 문제는 더 어려워지게 된다. Shatah의 Normal Form Method와 Hayashi의 Free Klein-Gordon Evolution Group을 분해하는 테크닉을 사용해 [2]에서 얻어진 결과를 System으로 확장해 보기로… 하지만 이 주제는 좀 뻔한 결과가 이미 눈에 보이고, 증명의 변형에도 새로운 것이 별로 없어서 지루한 계산을 되풀이하다 결국 접었다. 뭐, 여기에 질량이 다른 시스템까지 생각한다면 석사말~박사1년차 수준의 논문은 하나 나올 수 있을 듯 보인다.
 
그 후 비선형 클라인-고든 방정식과 슈뢰딩거 방정식에 관한 여러 논문들을 찾아보기 시작했다. 나는 현재 소속된 연구 단체가 없어서 논문을 검색, 다운로드 하는데 심각한 제약이 있는 상태. 8월에는 거의 매주 고려대 석사 과정에 재학중인 B군의 “Open Access 티켓(?)”을 얻기 위해 퇴근후 안암으로 향했다.
 

B군 집 앞에서, 노을이 인상적이었다..

 
물론 오는게 있으면 가는게 있어야 하는 법! 매주 B군에게 푸짐한 식사(?)를 접대했다:

모듬전과 동동주

 
그렇게 이것저것 시도해 보면서 근래에 슈뢰딩거 방정식 입문을 겸하는 논문 하나를 완성시켰다.


arXiv:1408.6464

[3]의 공간 1차원 버전인데, 결과는 물론 새로운 것이지만 그 방법은 [3]에서와 같은 거의 표준적인 방법을 따른다. 이 쪽 분야에 능통한 사람이라면 “뭐 그거야 굳이 말을 하지 않아서 그렇지, 충분히 예상 가능한 것 아니겠어?” 라고 할 지도..OTL. 어쨌든 이번 연구의 수확은 Introduction을 쓰면서 개인적으로 꽤 많은 공부가 된 것! (이라고 자위해 본다..)
 
References.
[1] N. Hayashi and P. I. Naumkin, The initial value problem for the cubic nonlinear Klein-Gordon equation, Z. angew. Math. Phys., 59 (2008), 1002–1028.
[2] N. Hayashi and P. I. Naumkin, Quadratic nonlinear Klein-Gordon equation in one space dimension, J. Math. Phys., 53 (2012), 103711.
[3] S. Katayama, C. Li and H. Sunagawa, A remark on decay rates of solutions for a system of quadratic nonlinear Schrödinger equations in 2D, Differential Integral Equations, 27 (2014), 301–312.

 

 
I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.



0 comments