편미분 방정식 전공 서적 리뷰 (PDE, Partial Differential Equations Book)

Edited by Leun Kim

이 쯤에서 그간 읽거나 접했던 PDE 전공서적을 리뷰 해 볼까 합니다. 아직 책을 평가할 수준이 절대로 안 되기 때문에 나름대로의 감상평에 불과합니다.

 

1. F. John. Partial Differential Equations. Springer.

Courant의 제자 F. John이 쓴 책입니다. PDE 입문용으로 적당한 것 같습니다. 초반부는 적은 변수들로부터 시작하여, 후반부에서 Laplace Equation, Hyperbolic Equation, Elliptic Equation, Parabolic Equation들을 다루고 있습니다.  

 

2. Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. AMS.

GSM 시리즈 중 하나인데 굉장히 광범위하게 읽히고 있는 책입니다. 책이 두꺼운 대신에 읽기는 수월한 편입니다. 단지 기호에 있어서, 저는 주로 $D = (\partial_t, \partial_1, \cdots, \partial_n)$ 으로 사용하는 편인데, 여기서는 $D = (\partial_1, \cdots, \partial_n)$으로 사용해서 처음에는 조금 위화감이 있었습니다. 저는 $\nabla = (\partial_1, \cdots, \partial_n)$으로 사용합니다. 한 줄 한 줄 확인해가며 읽지는 않았지만, 대충 어디에 어떤 내용이 있는지는 알고 있어서 현재는 사전처럼 활용하고 있는 책입니다.

 

3. R. Racke. Lectures on Nonlinear Evolution Equations. Vieweg.

R. Leis의 제자 R. Racke의 책입니다. 현재 M1 세미나용으로 활용하고 있습니다. S. Klainerman의 논문들을 조금 더 자세히 설명한 책이라고 보시면 됩니다. 구성은 크게 두 부분으로 되어 있습니다. 앞의 반 정도는 일반적인 Nonlinear Wave Equation의 Global Existence Theorem을 보이기 위한 스텝들을 자세하게 설명하고 있습니다. 그리고 후반부는 이 방법을 그대로 Elasticity Equation, Heat Equation, Thermoelasticity Equation, Schrodinger Equation, Klein-Gordon Equation, Maxwell equation, Plate Equation에 간략히 적용해 적절한 아웃라인을 설명해 주고 있습니다. 파동방정식을 전공하신다면 개인적으로 추천하고픈 책입니다. 다만, 저자가 tedious한 계산들은 실제로 확인해 보지 않고 대충 암산해서 써 놓은 듯한 느낌을 받았습니다. 예를 들어,

\begin{eqnarray*}S_2 & \leqslant &
\sum_{1 \leqslant m \leqslant s-1} c \left( \| A^0 (u^k)^{-1} \|_\infty^2  \left \| \nabla^m \left( \sum_{j=1}^n A^j (u^k) \partial_j u^{k+1} \right) \right \|_2^2 + \| \nabla^m A^0 (u^k)^{-1} \|_2^2 \left \| \sum_{j=1}^n A^j (u^k) \partial_j u^{k+1} \right \|_\infty^2 \right) \nonumber
\\
& \leqslant & c \sum_{1 \leqslant m \leqslant s-1} \left( \sum_{j=1}^n \| \nabla^m ( A^j (u^k) \partial_j u^{k+1} ) \|_2^2 + c(g_2) \| \nabla^m u^k \|_2^2 \sum_{j=1}^n c \| \partial_j u^{k+1} \|_\infty^2 \right)
\\
& \leqslant & c(g_2) \sum_{1 \leqslant m \leqslant s-1} \sum_{j=1}^n \left ( c \| A^j (u^k) \|_\infty^2 \| \nabla^m \partial_j u^{k+1} \|_2^2 + c \| \nabla^m A^j(u^k) \|_2^2 \| \partial_j u^{k+1} \|_\infty^2 + \| \nabla^m u^k \|_2^2 \| \partial_j u^{k+1} \|_\infty^2 \right)
\\
& \leqslant & c(g_2)  \sum_{1 \leqslant m \leqslant s-1} \sum_{j=1}^n \left( \| \nabla^m \partial_j u^{k+1} \|_2^2 + c(g_2) \| \nabla^m u^k \|_2^2 \| \partial_j u^{k+1} \|_\infty^2 + \| \nabla^m u^k \|_2^2 \| \partial_j u^{k+1} \|_\infty^2 \right)
\\
& \leqslant & c(g_2)  \sum_{1 \leqslant m \leqslant s-1} \sum_{j=1}^n ( \| \nabla^m \partial_j u^{k+1} \|_2^2 + \| \nabla^m u^k \|_2^2 \| \partial_j u^{k+1} \|_\infty^2 )
\\
&\leqslant & c(g_2) \left( \sum_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant s-1} \| \nabla^{\alpha +1} u^{k+1} \|_2^2 + \left( \sum_{1 \leqslant | \alpha | \leqslant s-1} \| \nabla^{\alpha} u^k \|_2^2 \right) c \kappa_s^2 \|  u^{k+1} \|_{s,2}^2 \right)
\\
& \leqslant & c(g_2) ( \| u^{k+1} \|_{s,2}^2 + c \| u^k \|_{s,2}^2 \| u^{k+1} \|_{s,2}^2 )
\\
& \leqslant & c(g_2) R^2(1+R^2).
\end{eqnarray*}

의 계산 정도는 $S_2 \leqslant c(g_2) R^2$의 한 줄로 표현하고 있습니다. 게다가 그 결과도 좀 다르군요. 뭐 이후의 스토리상 크게 영향은 없지만, 저자의 주장보다 $(1+R^2)$이 곱해져 바운드가 약간 커져서 조금 더 귀찮아지긴 합니다.

4. 堤 誉志雄. 偏微分方程式論. 

교토대학의堤 誉志雄 교수가 쓴 책입니다. 4장부터 비선형 슈뢰딩거 방정식의 내용이 주를 이루고 있습니다. 슈뢰딩거 방정식을 전공하고 싶으시면 4장부터 읽는 것을 추천합니다. 모든 일본책이 그렇지만 책 사이즈가 정말 조그맣고 얇지만 속이 알찬 책입니다. 다만 주의해야 할 것은, 이 책도 수식 오류가 좀 있습니다. 연구실의 석사 2년차 선배가 1학년 때 세미나용으로 사용한 책입니다.

 

5. T. Caznave. Semilinear Schrodinger Equations. AMS.

바로 위에서 소개한 堤 誉志雄 교수가 강추하는 책입니다. 그의 책 맨 마지막 문장이 ‘最後に、本書でとりあげた非線形シュレーディンガー方程式について、2002年までの数学的研究成果を解説した文献が最近出版された。非線形シュレーディンガー方程式に興味がある読者は、読んでみることを薦めたい。‘로 끝나면서 이 책을 추천하고 있습니다. 현재 슈뢰딩거 방정식을 전공하는 같은 연구실 동기가 M1 세미나로 매주 강연하고 있는 책이기도 합니다. 이 책도 나름 읽기 어려운가 봅니다. 1학기때에 그 친구가 “부등식 하나가 정말 증명이 안 된다. 그 근원을 알 수 없다”라고 외치면서 세미나를 한 주 쉬어 버렸던 기억이 나네요. 

 

 

6. H. Ringstrom. The Cuachy Problem in General Relativity. EMS.

대략 초반 100페이지 정도는 PDE의 기본적인 내용과 PDE와 연관된 함수해석을 다루고 있습니다. 그 이후 Part II부터 Lorentz geometry를 시작으로 본격적인 이야기가 시작됩니다. 현재 읽고 있는 책 중의 하나입니다.

 

 
I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.



12 comments

  • 정말 열심히 공부하시네요. @_@

    요즘 유학 준비로 멘붕이 극한까지 진행되서 정신이 많이 피폐하긴 하지만 (특히 스스로 아는 게 이렇게 없었나 하는 자괴감에 빠져있습니다 ㅜㅡ), 지원이 일단락되는대로 저도 분발해야 하겠습니다. 흐흐;;

    • 허허 아닙니다. 현재 논문쓰기는 커녕 그저 커리큘럼 따라가기 바쁩니다. 아마 이 페이스 대로라면 석사논문 겨우 제출하고 졸업할 것 같네요..

      유학 준비를 해 본 자로써 그 심정 이해합니다. 저는 무엇보다도 힘들었던 것은 전공공부 이외의 것들이었습니다. 연구계획서며, 추천서며, 어학이며 등등이요. 멘붕이 되셨다니, 힘 내시길 바랍니다. 역시 인생은 어드미션 획득의 연속이군요.

    • 교토대 등의 지원 요강을 보고 기겁하고 (장학금 왜 이리 빡세! 센터 시험? 앍), 미국 유학에도 쩔쩔 매는 저를 보면서, Leun님이 얼마나 준비를 열심히 하고 또 고생하셨을지 눈에 선합니다. 저도 힘내시기를 빌겠습니다!

    • ㅎㅎ sos440님 정도라면 일본 탑대학은 무난할 겁니다. 실력이 워낙 출중하시니 필기시험이나 면접정도 통과하는 것은 무난할 것입니다. 오히려 미국 대학원 같은 경우 자신의 실력을 뽐낼 입학시험이나 면접이 없고 서류로 선발한다고 알고 있는데, 그 편이 훨씬 힘들어 보입니다. 게다가 학비가 비싸서 펀딩도 고려해야 되고.. 학점이 거의 만점에 가까운 지방대 출신의 학생이 미국 명문 대학원에 합격하는 일도 많으니까요. 어쨌든 좋은 소식 기대하겠습니다!

  • 「대학원 입학 전에 석박사 논문 미리 써야지」라는 생각을 가지고 있는 한 잉여입니다.
    대단하네요. 저는 한 가지 분야를 할 때 기껏해봐야 책을 2~3개정도 보는게 끝인데 (1개만 볼 때도 있습니다. ㅋㅋ)편미방 하나에 6개씩이나 보고 있나요. 그리고 잘 되가나 보네요. 저는 책 하나 끝내기도 참 버겁습니다. 이번에 Automorphic forms에 관한 책이 하나 왔는데 그거 끝내려면 ㅋㅋㅋ 언제 연구하고 석박사 논문 쓰는 걸 준비하지요. 그리고 왠지 étale cohomology에서 진도가 느리게 나가네요. ㅠ 쓰는 교재를 중간에 바꾸기도 했고 이걸 붙잡은지 1개월 반이 지났는데 아직 기초적인 것도 다 못익혔습니다. 컴퓨터로만 봐서 그런가… (컴퓨터로만 보는 것은 잘 익혀지지 않더군요. ㅠ 책 사기엔 돈이 딸리고요.)
    그나저나 편미방 계산이 해석적 정수론하고 맞먹네요. 해석적 정수론만 부등식 하나에 줄이 10개씩 필요하고 그런 줄 알았는데 이것도 만만치 않군요. ㅋㅋㅋ 그리고 계산을 줄이는 것이 많은 것도요. 해석적 정수론 책도 저런 계산을 그냥 한 줄로 끝내버리는 게 많습니다. 이게 좀 심한게 Iwaniec & Kowalski같은 거. (풀면 20쪽정도 되는 계산을 3쪽만에 끝내더군요. 그 한 예로 Goldbach’s conjecture을 만족하지 않는 짝수의 density가 0으로 간다는 거의 증명하고 Odd Goldbach conjecture의 증명을 하나로 묶어서 전체를 4쪽분량으로 줄인 건 좀 그랬습니다. 그 외에도 이 책은 생략신공이 좀 많습니다. 그래서 생략한 부분 계산이 잘 안되었던 부분이 좀 있었던 게 기억나는군요.)역으로 Nathanson이라는 사람이 쓴 책들은 그나마 친절하더군요.

    • 사실 저도 제가 PDE 전공인지 부등식 전공인지 헷갈릴 때가 많습니다 OTL. 유명한 수학자 Hardy는 부등식에 대해 이런 유명한 말을 남겼죠.
      “All analysts spend half their time hunter through the literature for inequalities which they want to use but cannot prove.”

  • 전공책 리뷰라니 대단하네요^^ 아직 석사 1학년인걸로 알고 있는데 정말 열심히 하나봐요~ 그에 비하면 전 지금..ㅠㅠ.. 전공이 Hyperbolic equation 쪽인거같네요^^ 주제넘게 조언을 좀 하자면 어느정도 책을 본 다음에는 논문으로 넘어가는게 낫지 않을까 싶어요. 어느정도라는게 참 애매한것이긴 한데 물론 책을 보며 여러가지 공부를 하는건 분명 나중에 공부할때 큰 도움이 되지만 결국 논문을 나중에 쓴다는건 어떤 문제를 풀어야 하는것이기 때문에 논문을 공부하는게 큰 도움이 되요. 처음부터 모든기초를 다 알고 논문을 공부한다면 이보다 더 좋을순 없겠지만 알다시피 PDE쪽은 너무 방대하게 연구가 되있어서 현실적으로 그건 불가능 하다고 생각하거든요. 예전에 아는 교수님께서 해주신 말씀인데 우리는 부등식이나 수학적 지식을 ‘무기’로 가지고 있고 문제라는 ‘적’을 만났다고 생각하면 많은 무기를 가지고 있는것도 물론 좋지만 그 적을 어떤 무기로 어떻게 쓰러트려야 하는지 ‘방법’을 아는것도 중요하다고 해요. 아마 논문을 조금씩 읽게 된다면 나중에 반드시 도움이 되리라 믿어요^^ 처음부터 너무 어려운걸로 시작할 필요도 없고 조급해할 필요도 없어요. 그 분야에서 아주 유명한 옛날 논문도 좋고 최근에 Review형식으로 쓴것도 좋고 그냥 천천히 읽으면 분명 도움이 될거에요.^^ 그럼 공부 열심히 하시고 새해복 많이 받아요~ 나중에 언젠가는 꼭 한번 보고싶네요

    • 들러주셔서 감사합니다 선배님, 저번에 메일 받고 엄청 반가웠어요 ㅎㅎ. 전공이라고 하기엔 턱없이 부족하지만 뭐 일단은 hyperbolic입니다. 저도 이제 슬슬 논문으로 넘어가야 하는데, 역시 말씀하셨다시피 너무 방대하게 연구가 되어 있어서 hyperbolic중에서도 세부전공을 정하고 있는 단계라고나 할까요. 뭐 기초부족과 멘붕은 언제나 저의 친구였고요. “‘방법’을 아는 것이 중요하다” 정말 와닿는 말이네요. 누추한 곳에 들르셔서 뼈와 살이 되는 조언 정말 감사드립니다. 아, 그리고 Ponce가 토호쿠에 자주 가나보네요. 최근에 게시판에서 본 기억이 납니다. 뭐 저도 선배님을 언젠가는 만날 기회가 있을 거라 믿습니다! 새해 복 많이 받으세요~

  • 전 어디쪽으로 할지는 모르겠지만, PDE가 어느순간부터는 기본적인 언어가 되지 않을까라는 생각도 듭니다.

    아마 그래서 이쪽은 지속적으로 관심을 갖게 되나봅니다.

    푸앙카레 추측이 풀리는데 강력한 힘을 발휘한게 PDE이론이기도 했으니까요.