[연구?] 요 근래 끄적이던 주제를 접으면서…

Edited by Leun Kim

남산
2015년 8월 어느날 남산에서

 
올해는 이런저런 이유로 연구를 거의 하지 않다시피 했는데, 근래에 확실하게 될 것 같은 느낌이 들어 시도했던 문제와 실패의 원인을 끄적여 본다. 역시 이번에도 다음과 같은 1차원 Cubic NLKG 시스템을 연구했다:
$$
(\partial_t^2 – \partial_x^2 +1) u_j = F_j(u, \pa_t u),\quad j=1,\ldots,N.
$$
Cauchy 데이터를 적당한 Weighted Sobolev Space에 넣은 다음, $L^\infty$ 센스로 자유해보다 빠른 Time-decay를 이끌어 내는 것을 목표로 삼았다. 적당한 변환을 거치면 위 문제는
$$
\mathscr{L}v_j= \frac{i}{2}(1-\partial_x^2)^{-1/2}
F_j(v+\overline{v},-i\sqrt{1-\partial_x^2}(v-\overline v)),
$$
여기서 $\mathscr{L}=\partial_t + i\sqrt{1-\partial_x^2}$ 로 다시 쓸 수 있다. 이 문제는 거의 2년 전부터 생각하던 문제였는데 이번에 또 실패했네 OTL. 이번에 “뭔가 될 것 같다”는 느낌을 받은 이유는 A priori Estimate를 진행할 때 Operator $\mathscr{J} = \sqrt{1-\partial_x^2} x + it\partial_x$ 에 대한 Higher order 텀을 제거해도 별 문제가 없어 보였기 때문이다. Hayashi 교수가 썼던 방법 대신에 $\|\sqrt{1-\partial_x^2}^k v\|_{L^\infty}$를 Estimate하는 과정에서 부분적분 계산 노가다를 하면 $\|\mathscr{J}v\|_{H^3}$ 같은 높은 오더의 놈들을 피할 수 있어 보여서… 뭔 바람이 들었는지 바로 $\TeX$작업을 진행하고 Section 4정도까지 쓴 다음에 문제를 발견..ㅠ 말로 설명하긴 뭣 하지만 간단히 A priori Estimate에 있어서 “초반부가 괜찮으면 마지막에 안되고, 마지막에 괜찮으면 초반부가 안된다!”. 끄적이던 논문에서는 이 정도를 $\kappa$ 라는 변수의 크기로 측정할 수가 있다. 그래서 적당히 중간 정도 크기의 $\kappa$를 잡고 마지막으로 타협을 시도했지만 결국 실패. 가령 $\mathscr{P} = t\partial_x + x\partial_t$로 두면,
$$\|\mathscr{J}v\|_{H^s} \leftarrow \|\mathscr{P}v\|_{H^s} \leftarrow \|\mathscr{LP}v\|_{H^s}\leftarrow \|(1-\partial_x^2)^{s/2}v\|_{L^\infty}$$
와 같이 오른쪽 놈부터 차례로 estimate 하면 결국 $\mathscr{J}v$를 estimate할 수 있다. 한 편, 알려진 부등식을 이용하면
$$\|\mathscr{J}v\|_{H^s} \rightarrow \|(1-\partial_x^2)^{s/2+1/4}v\|_{L^\infty}$$
방향으로도 Estimate 할 수 있는데 대신 1/2 order의 손해를 입게 된다. 비선형항 $F$가 미분항을 포함하지 않을 때에는 1/2 order가 오히려 여유로 남아 돌아서, 두 방향을 쑥덕쑥덕 하면 된다. 결국 대충 말해서 비선형항이 $\pa_t u$와 $u$의 중간정도의 미분을 포함하면 이 방법은 sharp하게 되는 듯. 거꾸로 거슬러 올라가서 증명에 맞춘 PDE를 제조하기에 이르렀는데 굉장히 괴상한 형태의 Fractional PDE가 얻어진다…호호
 
남산
남산타워 전망대에 올라간 커피충

 

 
I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.



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