[M1 Seminar II] Week 7 : A Global Existence Theorem for Nonlinear Wave Equations

Edited by Leun Kim

We consider the following initial value problem
\[ y_{tt} – \Delta y = f(Dy,\nabla Dy)\;\;\;\;\text{with}\;\;\;\; y(t=0) = y_0,\; y_t (t=0) = y_1 \tag{P} \] with $f \in C^\infty ( \Bbb R^{(n+1)^2}, \Bbb R)$, $\exists \alpha \in \Bbb N$ such that $f(u, \nabla u) = O((|u| + |\nabla u|)^{\alpha+1} )$ as $ |u| + |\nabla u| \to 0$ where $u:=Dy$ is the corresponding solution of the quasi-linear symmetric hyperbolic system with $u_0 = (y_1, \nabla y_0)$. With these assumptions the following theorem holds.

(Theorem) Let $\frac{1}{\alpha} \left( 1 + \frac{1}{\alpha} \right) < \frac{n-1}{2}$. Then there exists $s_0 > 1 + n/2$ and $\delta>0$ such that the following holds:
If $u_0 \in W^{s,2} \cap W^{s,p}$ with $ s \geqslant s_0$, $p = \frac{2 \alpha+2}{2 \alpha +1}, \; \| u_0 \|_{s,2} + \| u_0 \|_{s,p} < \delta$ then there exists a unique solution $y$ of the problem (P) with $$ u \in C^0([0,\infty), W^{s,2}) \cap C^1 ([0,\infty) , W^{s-1,2}).$$ Moreover $ \| u(t) \|_\infty + \| u(t) \|_{2 \alpha +2} = O \left(t^{-\frac{n-1}{2} \frac{\alpha}{\alpha+1}} \right),\; \| u(t) \|_{s,2} = O(1)$ as $t \to \infty$.

Note that this existence theorem gives the relation between the nonlinearities $\alpha$ and the space dimension $n$: ($\alpha = 1, n \geqslant 6$), ($\alpha = 2, n \geqslant 3$), ($\alpha \geqslant 3, n \geqslant 2$).

Here the quadratic nonlinearities require $n$ to be at least 6. But in fact, this is not optimal. The optimal condition here being necessary is $n \geqslant 4$ for quadratic nonlinearities. This will be treated in the next seminars.

M1_Semi2_Week7

 

 
I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.



8 comments

  • 안녕하세요 티스토리 블로그를 운영하고 싶지만 초대장이없어서
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  • 지금 깨달았는데, wave equation이라니…. 어려운 거 하시네요 덜덜덜;;

    보통 어떤 방법론을 많이 쓰나요? 역시 elliptic/parabolic이랑은 많이 다를 것 같은데;;

    • 뭐 여러가지 방법이 있겠습니다만 하나만 꼽으라면 Kleinerman의 Vector Field Method를 Contraction mapping principle과 결합해서 아직까지도 많이 쓰는 것 같습니다. 21세기 이후에도 A*급 저널들에 여전히 이 방법을 특정 형태의 PDE에 적용하거나 특별한 초기치의 PDE에 적용하여 Asymptotic behavior나 Existence를 확보한 논문들이 계속 실리고 있는걸 보면 뭐 그런 것 같습니다. Kleinerman 전에 성행했던 회르만다의 Pseudo- DO를 이용한 방법은 책에서만 봤을 뿐 최근에는 하나도 접하지 못했네요. Blow-up에 대한 방법은 아직 읽은 것들이 적어서 잘 모르겠군요.
      뭐 간단히 말해서 PDE에 대한 새로운 도구를 개발하는 것이 생각보다 힘든 것 같습니다. 물론 저는 그 도구들을 특정한 PDE에 적용하는 연구로 올해를 마감할 것 같습니다. 그 도구는 아마도 Vector Field Method가 되겠지요.
      그나저나 요즘 게을러져서 연구를 안하고 놀기만 해서 큰일이네요ㅠ

    • blow-up 이라고 함은 역시 조화해석적인 방법을 섞은, Kenig 등에 의한 접근법인가요? 흠, 언제 한번 개괄로 들은 적이 있는데 기억이 가물가물하네요 ㅇ<-< vector field method는 확실히 처음 들어보는 걸 보니, 방법론이 정말 차이가 많은 것 같습니다. 하긴, wave equation은 smoothing effect를 기대할 수 없을테니까요. 뭐 게으른 걸로 치면, 저는 아예 이번 학기를 노는 학기로 선언해버린지라... "이번이 인생에서 마지막으로 놀 수 있는 찬스다!" 라는 슬로건 하에 마음 놓고 놀고 있습니다 orz

    • 음 글쎄요. Kenig의 논문들은 아직 읽어보지 못해서 잘 모르겠군요 ㅎㅎ.

      그래서 요즘 슈뢰딩거 방정식도 기웃거리고 있습니다. 연구실에 박사과정 선배 한명과 저만 파동방정식을 기웃거리고 있었는데 최근 그 선배도 슈뢰딩거로 갈아탄 것 같네요ㅠ

      좋은 슬로건이군요. 그 슬로건 탐이 납니다.