History of Some Major Works to the Klein-Gordon equations

Edited by Leun Kim

Nonlinear Klein-Gordon Equation(NLKG) 의 역사(?)를 간단히 정리해 보았습니다. 방정식 자체의 역사는 길지 몰라도, 방정식을 “수학적인 방법”으로 공략해서 성과를 얻어낸 역사는 생각보다 그리 길지 않습니다. 구체적으로 다음과 같은 형태의 NLKG의 역사에 대해 알아보겠습니다.

$$(\square +1) u = F(u, \partial u),\;\;\;t\geqslant 0, \; x \in \mathbb R^n \;\;\;(\text{NLKG}),$$
$$ u(t=0) = \varepsilon f(x) \in C_0^\infty(\mathbb R^n), \;\;\;\;u_t (t=0) = \varepsilon g(x) \in C_0^\infty(\mathbb R^n), \;\;\;\varepsilon>0,$$ $$ F(u, \partial u) = O(|u|^p + | \partial u |^p) \;\text{and smooth}\;\;\; \text{near} \;\;\; (u, \partial u)= 0$$
참고로 위 식에서 $\square +1$ 대신에 $\square$를 써 주면, Wave Equation이 됩니다. Wave Equation의 경우는 일반적으로 time-decay가 좋지 않아서 보통 “더 어렵다”고 생각되어 집니다. 이쯤하고 NLKG로 돌아가서..

먼저 주목할만한 성과는 1980년대 초반에 등장했습니다. 1982년 J. Shatah에 의해, 또 독립적으로 1983년 S. Klainerman과 G. Ponce에 의해 (NLKG)가 만약 $ \frac{n(p-1)^2}{2p} >1$ 를 만족하면, Small Data Global Existence(이하 SDGE)를 만족하며 $t \to +\infty$일 때 Free solution으로 근사된다(이하 FREE)는 사실이 증명되었습니다. 이 결과로 인해 아래의 표가 처음으로 채워지게 되겠습니다.

표 (1983)

$n=1$ $n=2$ $n=3$ $n=4$ $n\geqslant 5$
$p=2$ ?  ? ? ?  SDGE!(1982)
$p=3$ ? SDGE!(1982) SDGE!(1982)   SDGE!(1982)  SDGE!(1982)
$p\geqslant 4$ SDGE!(1982) SDGE!(1982) SDGE!(1982)  SDGE!(1982)  SDGE!(1982)

편의상 SDGE! = SDGE + FREE 로 표기하겠습니다.

SDGE!(1982)

  • J. Shatah, Global existence of small solutions to nonlinear evolution equations, J. Differential Equations, 46 (1982), 409-425.
  • S. Klainerman and G. Ponce, Global small amplitude solutions to nonlinear evolution equations, Comm. Pure Appl. Math., 36 (1983), 133-141.

이후 정확히 3년만인 1985년, 이 두 사람은 약속이라도 한 듯 또, 동시에 독립적인 다른 방법으로 $n=3,4, \; p=2$의 경우에 대해서도 SDGE!를 증명하게 됩니다. 게다가 이 두 논문은 Comm. Pure Appl. Math.의 같은 책자에 출판되게 되지요. J. Shatah는 Normal Form Method를 이용해, S. Klainerman은 Invariant Norm Method를 이용해 이 경우에 대해서 SDGE!를 증명했습니다. 참고로 이 두 방법 모두 현재까지도 사용되는 방법들입니다. 이로써 우리는 다음과 같은 표를 얻습니다.

표 (1985)

$n=1$ $n=2$ $n=3$ $n=4$ $n\geqslant 5$
$p=2$ ?  ? SDGE!(1985) SDGE!(1985)  SDGE!(1982)
$p=3$ ? SDGE!(1982) SDGE!(1982)   SDGE!(1982)  SDGE!(1982)
$p\geqslant 4$ SDGE!(1982) SDGE!(1982) SDGE!(1982)  SDGE!(1982)  SDGE!(1982)

 

SDGE!(1985)

  • S. Klainerman, Global existence of small amplitude solutions to nonlinear Klein-Gordon equations with small data in four space-time dimensions, Comm. Pure Appl. Math., 38 (1985), 631-641.
  • J. Shatah, Normal forms and quadratic nonlinear Klein-Gordon equations, Comm. Pure Appl. Math., 38 (1985), 685-696.

나머지 경우들에 대해서는 특별히 주목할만한 성과들을 내지 못한채 1990년대로 접어들게 됩니다. 먼저 $n=2, p=2$의 결과들에 대해 알아보죠. 1990년대 초반, 몇몇 결과들이 얻어졌습니다. 먼저 V. Georgiev and P. Popivanov의 논문, R. Kosecki의 논문에서는 Nonlinear term $F$에 특별히 추가적인 조건을 첨가시켜 SDGE를 증명했습니다. 구분짓기 위해서 $F$에 추가적인 조건이 있는 경우 뒤에 *를 달아서 SDGE*로 표기하겠습니다. 하지만 1년 뒤에 J. C. H. Simon과 E. Taflin는 이 추가적인 조건을 삭제했습니다(SDGE). 그리고 3년 뒤 T. Ozawa, K. Tsutaya and Y. Tsutsumi가 위에서 언급한 Normal Form Method와 Invariant Norm Method를 섞은 방법으로 FREE를 증명해 내면서 이 경우에 대해서도 SDGE!를 얻게 됩니다. 따라서 우리는 다음의 표를 얻습니다.

표 (1996)

$n=1$ $n=2$ $n=3$ $n=4$ $n\geqslant 5$
$p=2$ ? SDGE*(1991)
SDGE*(1992)
SDGE(1993)
SDGE!(1996)
SDGE!(1985) SDGE!(1985)  SDGE!(1982)
$p=3$ ? SDGE!(1982) SDGE!(1982)   SDGE!(1982)  SDGE!(1982)
$p\geqslant 4$ SDGE!(1982) SDGE!(1982) SDGE!(1982)  SDGE!(1982)  SDGE!(1982)

 

SDGE*(1991)

  • V. Georgiev and P. Popivanov, Global solution to two dimensional Klein-Gordon equation, Commun. In Partial Differential Equations, 16 (1991), 941-995.

SDGE*(1992)

  • R. Kosecki, The unit condition and global existence for a class of nonlinear Klein-Gordon equations, J. Differential Equations, 100 (1992), 257-268.

SDGE(1993)

  • J. C. H. Simon and E. Taflin, The Cauchy problem for nonlinear Klein-Gordon equations, Commun. Math. Phys., 152 (1993), 433-478.

SDGE!(1996)

  • T. Ozawa, K. Tsutaya and Y. Tsutsumi, Global existence and asymptotic behavior of solutions for the Klein-Gordon equations with quadratic nonlinearity in two space dimensions, Math. Z., 222(1996), 341-362.

이제 $n=1, p=3$의 경우에 대해서 알아봅시다. 이 경우에 대해서는 특정한 형태의 $F$에 대해 1990년대 중반부터 논문들이 나오기 시작합니다. 대표적으로 1994년 K. Yagi는 그의 석사논문에서 $F= 3uu_t^2 – 3uu_x^2 – u^3$일 경우 SDGE!*를 증명했습니다. 이후 K. Moriyama가 K. Yagi의 결과를 조금 더 넓은 범위의 $F$로 일반화시켜 SDGE!*를 증명했습니다. 반대로 1999년 S. Katayama는 $F = u_t^2 u_x + bu^2 u_x + cu_x^3, \; b,c>0$의 경우에는 (NLKG)가 Global solution을 갖지 않는다는 사실을 증명합니다(이하 SDBU*, Small Data Blow Up으로 표기하겠습니다).

또 1996년에는 $F = au^3 + O(u^4), a\neq 0$일 때 V. Georgiev와 B. Yordanov에 의해 SDGE*이면서 FREE가 아닌 경우(이하 GENF*, Global Existence Non-Free)가 있다는 것이 증명되었습니다. 비슷하게, 2001년 J. M. Delort는 $F = u – \sin u$일 경우에 GENF*를 증명합니다. 또 2004년에 J. M. Delort등은 Null Condition을 만족하는 $F$에 대해 SDGE!*를 증명합니다.

$n=1, p=2$의 경우에는 2001년 J. M. Delort가 $F$에 추가 조건을 걸어서 SDGE*를 증명한 결과가 있습니다. 이와는 별도로 T. Tao(이 사람은 안 끼는 분야가 없네)와 M. Keel은 1999년 $p \leqslant 1 + \frac{2}{n}$을 만족하면 (NLKG)는 SDBU*(Small Data Blow-up)하는 $F$가 존재한다는 사실도 증명합니다(여기서는 $F(u, \partial u) = O(|u|^p + | \partial u |^p)$의 센스는 아닙니다, $n=1, p=2$의 경우에 적당한 reference를 찾지 못해서..). 이 외에도 정말 많은 사실들이 case by case로 존재하기 때문에 이쯤에서 생략하도록 하죠.. 일단 언급한 내용들을 표로 정리하면 다음과 같이 됩니다.

표 (2004)

$n=1$ $n=2$ $n=3$ $n=4$ $n\geqslant 5$
$p=2$ SDBU?(1999)
SDGE*(2001)
+ …
SDGE*(1991)
SDGE*(1992)
SDGE(1993)
SDGE!(1996)
SDGE!(1985) SDGE!(1985)  SDGE!(1982)
$p=3$ SDGE!*(1994)
GENF*(1996)
SDGE!*(1997)
SDGE!*(1999)
SDBU*(1999)
GENF*(2001)
SDGE!*(2004)
+ …
SDGE!(1982) SDGE!(1982)  SDGE!(1982)  SDGE!(1982)
$p\geqslant 4$ SDGE!(1982) SDGE!(1982) SDGE!(1982)  SDGE!(1982)  SDGE!(1982)

 

SDGE!* (1994)

  • K. Yagi, Normal forms and nonlinear Klein-Gordon equations in one space dimension, Master thesis, Waseda University, March (1994).

GENF*(1996)

  • V. Georgiev and B. Yordanov, Asymptotic behaviour of the one-dimensional Klein-Gordon equation with a cubic nonlinearity (1996).

SDGE!*(1997)

  • K. Moriyama, Normal forms and global existence of solutions to a class of cubic nonlinear Klein-Gordon equations in one space dimension, Differential and Integral Equations, 10 (1997), 499-520.

SDGE!*(1999), SDBU*(1999)

  • S. Katayama, A note on global existence of solutions to nonlinear Klein-Gordon equations in one space dimension, J. Math. Kyoto Univ. 39 (1999) 203-213.

SDBU?(1999)

  • M. Keel and T. Tao, Small data blow-up for semilinear Klein-Gordon equations, Amer. J. Math. 121 (1999), 629-669.

GENF*(2001), SDGE*(2001)

  • J. M. Delort, Existence globale et comportement asymptotique pour l’equation de Klein-Gordon quasi lineaire a donnees petites en dimension 1, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 4e Ser. 34 (2001), 1-61.

SDGE!*(2004)

  • J. M. Delort, D. Fang and R. Xue, Global existence of small solutions for quadratic quasilinear Klein-Gordon systems in two space dimensions, J. Funct. Anal 211 (2004), no.2, 288-323.

 

금방 정리하겠지 하면서 시작했는데, 이거 정리해 보는거도 상당히 힘드네요. 이처럼 위에서 언급한 (NLKG)만 하더라도 정말 많은 결과들이 산재해 있는 것을 알 수 있습니다. 그런데 다양한 형태의 NLKG, Domain(이 글에서는 $\mathbb R^n$)의 변형, 혹은 다양한 함수공간에 속해 있는 초기조건들을 조합하면 아직도 연구할 것들이 정말 많이 남아 있다고 볼 수 있겠지요. 거기다가 system을 생각할 수도 있고요. 광범위하게 쓰일 수 있는 강력한 방법이나 이론이 등장하는 것은 현재로써는 거의 불가능하기 때문에… 게다가 NLKG는 수많은 형태의 PDE들 중 하나에 불과하니, PDE는 다른 수학 분야들에 비하면 아직 “거의 연구되지 않은” 분야라고도 할 수 있겠네요.

 

 
I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.



11 comments

  • Tao 안 끼는 분야가 없네 ㅋㅋㅋㅋ 편미방에도 끼고 정수론에도 끼고 group theory에도 끼고 대수기하에도 끼는데 여기도 안심할 수 없었군요< 이 쪽 분야 역사도 재미있네요. 왠지 처음 SDGE!가 아닌 걸 증명한 Katayama가 나쁜 애로 보인 건 환상이었을까요. 그나저나 글 너무 잘 쓰네요 ㅠ

  • ㅎㅎㅎ이정도까지 정리가 가능하다니 내공이 상당하네요^^ 표를 보니 대부분으 small data global existence인데 unconditional global wellposedness는 아직 어떤 케이스에도 증명이 안된건가요? 아니면 large data blowup 결과 있는건가요??아 물론 일반적인 |u|^p u 정도의 nonlinearity가 있을때요^^ NLKG은 학회때 잠깐잠깐 빼고 접한적이 거의 없는데 위의 글을 보면 상당히 매력적인듯하네요^^

    • ㅎㅎ 아닙니다. 그저 여러 논문들 Abstract들을 짜집기 한 것에 불과하지요.

      음.. $F=|u|^{p-1}u$ 정도라면 data가 충분히 작다는 가정을 얼마나 약화시킬 수 있는지(긍정적인 결과를 얻기 위해)에 대해서도 분명 연구가 되고 있을 것인데, 제가 읽어본 것은 죄다 small data의 경우라 잘 모르겠네요. 물론 data가 크면 폭발하느냐도 잘 모르고요 ㅎㅎ. 하지만 일반적인 $F$에 대해서는 직관적으로 생각해보면, data쪽의 조건을 약화시키면 긍정적인 결과를 얻기 위해서는 $F$에 추가적인 구조를 주는 등의 다른데서의 손실을 감수해야 겠지요.

      아, 그리고 언급하신 $|u|^{p-1}u$ 정도라면 적당한 Sobolev space나 weighted Sobolev space 안에 있는 초기치들에 대해서도 꽤 많이 연구가 되어있습니다(아 물론 이거도 충분히 작은 data를 가정해서…). 몇 개월 전에 이런 결과들을 derivative nonlinear term $|\partial u|^{p-1} \partial u$ 따위의 경우들로 확장해 보려다가 된통 당한 적이 있습니다 OTL.

      음.. 결론만 말씀드리면 선배님의 댓글에 대한 저의 답은 “나는 모른다” 입니다..OTL 요즘은 어떤 연구를 하고 계신지 궁금하기도 하네요.

  • ㅎㅎㅎ 하긴 PDE의 경우엔 논문이 하도 많이 나와서 뭐가 되있고 뭐가 안되있는지 전부 알기란 거의 불가능 하죠^^ 전 연구하는 방정식을 Schrodinger에서 Camassa-Holm 으로 바꿨어요^^ 1990년에 새롭게 나온 shallow water방정식인데 Kdv에서는 설명하지 못하는 물리적 현상을 설명할수 있어서 최근 활발히 연구가 되고있지요. (물론 거의 대부분의 논문이 똑같은 아이디어를 살짝 바꾼 방정식에 적용시킨거긴 하지만^^) 지금은 Local well posdness의 결과를 critical Soboelv space (or Besov space)에서 증명하려고 노력중인데 잘 모르겠네요. 이게 삽질이 될지 어찌 될지…ㅎㅎㅎ

    • 오오.. Camassa-Holm equation은 처음 들어보는 아이네요. 저도 요즘 이것저것 뒤적이고 있는데 독자적인 연구분야를 찾는게 쉬운 일이 아니더군요.. 그나저나 꼭 좋은 결과를 얻으시길 기원합니다! ^^

  • 오늘 끈 이론 대중강연에 갔다왔습니다.
    안드렐 린데교수가 다중우주 설명을 하기전에 몇가지 수학내용을 얘기했는데
    Klein-Gordon Equation이 나와서 순간 ‘헉’ 이랬네요.

    아주 멋진 방정식을 연구하시더군요 :)

    • 아 그렇군요 ㅎㅎ. 제 전공이긴 하지만 전 방정식의 물리적 배경은 슈뢰딩거 방정식 친척이라는 것 정도밖에 아는 게 없습니다. 물리는 영 젬병이라..OTL