근황 : Klein-Gordon Equation 연구 (2013년 4월 13일)

Edited by Leun Kim

일단 NLKG(Nonlinear Klein-Gordon Equation)을 연구하기 시작했습니다. 전부 떠벌리기는 어렵고 개략적으로는 아래와 같은 Cauchy Problem을 연구합니다.

$$ (\square + m) u(t,x) = F (u, \partial u), \;\;\; t \geqslant 0, \;\;\; x \in \mathbb R^n \;\;\; \text{with} \;\;\; (u, \partial_t u) (t=0) = (u_0, u_1) $$

where $F(u, \partial u) = O (|u|^p + |\partial u|^p) $ near $(u, \partial u) = 0$ for some $p \geqslant 2$ and $\partial = (\partial_t, \partial_1, \cdots, \partial_n)$. 여기서 $m>0$ 이고 $u$ 는 연구 상황에 따라서 real이 될 수도 있고 complex가 될 수도 있습니다. 혹은 system을 연구하게 될 지도 모릅니다. 오랜만에 포스팅하는 김에 이 쪽 필드에 몸담고 계신분이라면 누구나 알고 있지만, 그렇지 않은 분들을 위해 허접하지만 몇 줄 끄적여 보겠습니다.

비단 NLKG뿐만 아니라 다양한 형태의 Nonlinear evolution PDE에서 많은 사람들의 관심사는 SDGE (Small Data Global Existence)와 Asymptotic Behavior (예를 들면, energy decay 혹은 $L^p$ decay나 free profile의 존재 여부등)이겠지요. 당연히도 원하는 결과에 도달하기 위해서는 저 골칫거리인 nonlinear term $F$를 어떻게 잘 컨트롤 하느냐가 핵심적인 과제이겠지요. 사실 이러한 연구들에서 공간차원 $n$과 degree of nonlinearity $p$는 굉장히 밀접한 관계를 유지합니다. 실제로 위 형태와 같은 NLKG에서는 다음과 같은 굉장히 유명한 사실이 알려져 있습니다.

$$ \frac{n (p-1)}{2} > 1 \;\;\Rightarrow\;\; \text{SDGE holds and the solution tends to a free solution} $$

여기서 free solution이라는 말은 nonlinear term $F = 0$인 경우의 솔루션을 말합니다. 자연스럽게 우리들의 주된 관심사는 저 조건을 만족하지 않는 경우에 있습니다. 구체적으로 위의 조건은 $n \geqslant 3$ 일 때 $p \geqslant 2$, $n=2$일 때 $p \geqslant 3$, 마지막으로 $n =1$일 때 $p \geqslant 4$로 쓸 수 있습니다. 즉 공간차원 $n$이 3차원 이상이라면 기본적으로는 저 사실 때문에 연구할 것이 그리 많이 남아 있지 않다고 볼 수 있습니다(물론 상대적으로).

자연스레 여기서 우리의 관심은 1차원 공간과 2차원 공간으로 옮겨가게 되겠지요(참고로 슈뢰딩거 방정식도 특정한 $F$에 대해 이와 비슷한 양상을 띄게 됩니다, 사실 지금와서 고백하건데 처음 입학했을 당시만 하더라도 저차원에 국한된 제목(예를 들면 ~~~in two space dimension 따위)의 논문들의 표지들을 많이 접하면 ‘흠.. $n$ 차원으로 일반화 시키기가 어렵나 보군?’ 라고 생각하고 있었습니다 OTL, 물론 그래서 그런 경우도 있지만). 어쨌든 결국 $n=2$ 일 때에는 $p=2$, $n=1$ 일 때에는 $p=3$이 critical case 가 됩니다(여기서 critical 이라는 말은 초기치와 nonlinear term의 양상에 따라서 SDGE등의 결과들이 만족될수도 있고 blow-up 할 수도 있다는 말입니다). 역시 critical case에 관해서는 방대한 reference들이 산재해 있습니다.

critical case의 연구에 더욱 열정을 불태우도록 하는 것은 개인적인 생각입니다만 아마도 물리학의 영향도 조금 있는 것 같습니다. 일반적으로 물리학에서는 3차원 이하의 공간이 주가 되는 경우가 많겠지요. 하지만 불행히도 저차원(低次元)의 경우 문제가 극도로 어려워 진다는 건 재미있는 사실 같습니다.

요즘 ‘논문을 읽는 것’과 ‘쓰는 것’의 차이를 몸소 실감하고 있습니다. 일단 구체적인 outline을 그려놓긴 했는데 잘 될 지도 모르겠고 저에겐 멘붕만이..OTL

 

 
I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.



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