1차원 클라인 골든 방정식에 대한 고찰 (Time Decay 의 관점에서)

Edited by Leun Kim

이 쯤 해서 내 나름대로 정리도 할 겸 클라인 골든 방정식(Klein-Gordon Equation)에 대한 포스트를 써 두어 본다. 먼저 1절에서는 $n$ 차원 클라인 골든 방정식에 대한 고전 결과들을 소개하고, 2절에서는 업계(?)에서 주로 쓰는 용어들을 설명한다. 3절에서는 단독(単独) 1차원 클라인 골든 방정식에 대한 최신 결과들을 소개하고, 4절에서는 연립(連立)인 경우에 대해 소개한다.
 
1. 비선형 클라인 골든 방정식

먼저 이 전에 포스팅 했던 내용([1], [2])을 간략하게 복습한다. 이 포스트에서는 [1], [2]와 마찬가지로 물론 다음과 같은 초기치 문제: $\boldsymbol n$차원, $\boldsymbol N$차 연립 비선형 클라인 골든 방정식 (Nonlinear Klein-Gordon Equation)을 생각한다.
$$
\text{(NLKG)}\left\{
\begin{array}{l}
(\Box + m_j^2)u_j = F_j(u,\pa u),
\qquad (t,x) \in (0,\infty) \times \R^n,\; j=1,\cdots, N, \\
u_j(0,x) = \eps f_j(x), \;\; \pa_t u_j (0,x) = \eps g_j(x),
\qquad x \in \R^n,\; j=1,\cdots, N
\end{array}
\right.
$$
여기서 질량 $m_j$ 는 항상 양의 실수, $n \in \mathbb N$, $N \in \mathbb N$ 이고, $$u=(u_j)_{1\le j \le N} : [0,\infty)\times \R^n \to \R^N,\quad \pa u = (\pa_{t,x}^\alpha u_j)_{|\alpha|=1, 1\le j\le N}$$
이다. 간단히 말하면 $u$ 는 $u_j$ 의 모든 성분으로 이루어진 벡터, $\pa u$ 는 $u$ 의 $t, x$ 에 관한 1차 미분의 모든 조합으로 구성된 벡터이다. 언제나처럼 비선형항 $F=(F_j)_{1\le j \le N}$ 는 $(u, \pa u)$ 에 관한 smooth한 함수로 원점 주변에서 $\boldsymbol p$차 비선형성을 가정한다:
$$
F_j(u,\pa u) = O((|u|+|\pa u|)^p)
\quad \text{as}\ \ (u,\pa u)\to 0.
$$
물론 위의 $\text{(NLKG)}$에서 $\eps>0$ 이고, 초기치는 모두 $f_j$, $g_j \in C_0^{\infty}(\R^n)$ 급으로 좋은 함수로 주어졌다고 가정한다.

[1], [2]에서 충분히 다루었듯이, 공간차원 $n$과 비선형항의 차수 $p$ 가 다음의 관계
$$
p>1+\frac{2}{n}
$$
를 만족하면 위의 연립 클라인 골든 방정식 $\text{(NLKG)}$에 대해서 SDGE (Small Data Global Existence)가 성립하고, 그 해는 자유해(Free Solution)로 근사된다 (이 용어들에 대해서는 바로 아래에서 구체적으로 언급한다). 이 결과는 80년대에 Klainerman, Shatah, Ponce 등에 의해 얻어진 매우 유명한 결과로, 구체적으로는 [3], [4], [5], [6]의 결과를 한 데 합친 결과이다. 결국 위 관계에서, $n\geq 3$ 이면, 비선형항의 차수가 2차 이상인 모든 경우에 대해서, SDGE가 성립하고, 그 해는 자유해로 근사된다. 따라서 이 결과로 커버되지 않는 경우, 즉 $$(n,p)=(1,2), (1,3), (2,2)$$
의 3가지 경우가 이른바 critical case가 된다. 물론 이 포스트에서는 이제부터 항상 $(n,p) = (1,3)$ 으로 고정한다. 즉, 지금부터는 $\text{(NLKG)}$에서 공간차원 $\boldsymbol{n=1}$, 비선형항의 차수 $\boldsymbol{p=3}$ 으로 항상 고정시키도록 한다.
 
2. SDGE와 자유해로의 근사

이 절에서는 앞서 몇 번 등장한 용어에 대해 자세히 정의해 둔다. 먼저 SDGE는 말 그대로 Small Data Global Existence이다. 즉 $\text{(NLKG)}$에 대해서 초기치가 충분히 작으면 Global Solution이 유일하게 존재한다는 것이다. 좀 더 자세하게 쓰면,
$$
\exists \eps_0>0 \text{ s.t. } \eps \in (0, \eps_0] \Rightarrow \exists !\; u \text{ sol. of (NLKG) in } C^\infty ([0,\infty) \times \R^n)
$$
정도로 표현하면 되겠다. 다음 용어를 소개하기 전에, 먼저 Energy를 정의하자. 질량 $m$의 클라인 골든 방정식에 대해서 Energy는 일반적으로 다음의 $L^2$ 적분
$$
\| u(t)\|_{E_m} = \left( \frac{1}{2} \int_{\R^n} |\pa_t u(t,x)|^2 + |\nabla_x u(t,x)|^2 + m^2 |u(t,x)|^2 \,dx \right)^{1/2}
$$
으로 정의한다. 또 어떤 비선형 편미분방정식의 자유해(Free Solution) 라는 것은 적당한 초기조건하에서 비선형항 $F=0$ 인 경우의 해를 지칭하는 말이다. 구체적으로 위의 $\text{(NLKG)}$의 자유해 $u^{\text{free}}$ 는
$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\Box + m_j^2)u_j^{\text{free}} = 0, \\
(u_j^{\text{free}}, \pa_t u_j^{\text{free}})|_{t=0}\in H^1 \times L^2
\end{array}
\right.
$$
의 해를 지칭하는 용어이다. 이제 해가 (물론 Global Solution이) “자유해로 근사된다” 를 정의할 차례다. 물론 이 용어에 대해서는 여러가지 버전이 있지만, 여기서는 위에서 소개한 Energy를 이용해서 정의하도록 한다. 즉, $\text{(NLKG)}$의 Global Solution $u$ 가 자유해로 근사된다는 말은 $u$ 가
$$
\lim_{t\to\infty} \sum_{j=1}^N \| u_j(t) – u_j^{\text{free}}(t) \|_{E_{m_j}} =0
$$
를 만족하는 상황을 의미한다.

* 여기서 잠깐, 왜 이런 괴상한(?) 개념을 도입했는지 한 번 생각해 보자. 예를 들어 초기치가 충분히 작다고($\eps \ll 1$) 해 보자. 그러면 단순무식하게(?) 생각해서, 충분히 큰 비선형항의 차수 $p$에 대해서 시간이 아주 많이 흘렀을 경우 우리는 해가 자유해처럼 행동하기를 기대할 수 있다 (가령 $p=3$ 이라고 하면 $(0.1)^3 = 0.001, \cdots$ 의 느낌이라고 하면 될려나?). 하지만 기대는 기대일뿐! 초기치가 충분히 작다고 하더라도, 해가 유한시간 내에 폭발해 버린다던지, 또는 Global Solution이 존재한다 하더라도 그 해가 자유해와 전혀 다르게 행동하는 경우가 비일비재(非一非再)하다.

 
3. 단독 ($\boldsymbol{N=1}$)인 경우에 대한 최신 결과

이제 $\text{(NLKG)}$에 대하여 연립인 경우($N\geq 2$)를 살펴보기에 앞서, 먼저 단독인 경우($N=1$)에 대한 결과들을 살펴보자. 단독이므로, 간단히 질량은 $m=1$ 로 고정시켜도 일반성을 잃지 않는다. 1차원 클라인 골든 방정식의 경우, 데이터가 충분히 작다고 가정하더라도, 일반적으로는 SDGE를 기대하기 어렵다. 즉, 비선형항 $F$의 구조에 따라서 수많은 결과들이 산재해 있다. 예를 들어, [7]에 의하면
$$
F = u_t^2 u_x
$$
일 경우, $\text{(NLKG)}$의 해 $u$가 유한시간 내에 폭발하게 된다. 하지만 [8]에 의하면, 만일
$$
F = 3u u_t^2 – 3uu_x^2 -u^3
$$
인 경우, $\text{(NLKG)}$는 SDGE를 만족하고, 그 해는 자유해로 근사된다. [9]에서는 위 형태를 커버하는 더 많은 $F$에 대해서 SDGE가 성립하고, 그 해가 자유해로 근사된다는 것이 증명되어 있다. 그러면 여기서 다음과 같은 질문을 자연스럽게 할 수 있다.

“특정한 $F$에 대해 SDGE가 성립한다면, 그 해는 항상 자유해로 근사되는가?”

90년대 후반까지 이 질문에 대한 대답은 나오지 않고 있었다. 그러던 중 2001년 Delort는 [10]에서 만일
$$
F = u^3
$$
이라면 $\text{(NLKG)}$에 대해 SDGE는 성립하지만, 그 해는 자유해로 근사되지 않는다는 사실을 증명한다. 구체적으로 이 경우 해 $u$ 는 다음과 같이 행동한다:
$$
u(t,x)
=
\frac{1}{\sqrt{t}} \text{Re}\left(
a(x/t)
e^{i\{(t^2-x^2)_+^{1/2} -\frac{3}{8} (1-|x/t|^2)_+^{1/2} |a(x/t)|^2 \log t\}}
\right)
+o(t^{-1/2}), \qquad t \to \infty.
$$
여기서 $(\, \cdot\, )_+=\max\{\cdot, 0\}$ 이고, $a(y)$ 는 $y=x/t$ 를 변수로 가지는 smooth한 복소함수로 $|y|\ge 1$ 이면 $0$ 이 되는 적당한 함수이다. 여기서 $L^\infty$ decay를 살펴보면, 위 근사공식에 의해 해는 $O(t^{-1/2})$의 order로 감소하게 됨을 바로 알 수 있다(참고로 자유해의 $L^p$ decay는 $O(t^{-(1/2-1/p)}), \; 2\le p\le \infty$ 임이 잘 알려져 있다). 실제로 자유해는 다음과 같이 행동하는데:
$$
u^{\text{free}}(t,x)
=
\frac{1}{\sqrt{t}} \text{Re}\left(
a(x/t) e^{i (t^2-x^2)_+^{1/2} } \right)
+o(t^{-1/2}),
\qquad t \to \infty,
$$
Delort의 근사공식과 비교했을 때 위상 부분이 조금 차이가 나는 것을 알 수 있다. 따라서 $F = u^3$ 인 경우, SDGE는 성립하지만 그 해는 자유해와 사뭇 다르게 행동한다는 사실을 바로 알 수 있게 된다.

마지막으로 Nonlinear Dissipation, 즉 $F = -(\pa_t u)^3$ 인 경우를 살펴보자. 이 경우에도 Delort가 사용한 방법을 변형하여 쓸 수 있다. 실제로 Sunagawa는 [11]에서 이 경우 SDGE가 성립하고, 그 해는
$$
u(t,x) = \frac{t^{-1/2}\text{Re} \left(a(x/t)e^{i(t^2 – |x|^2)_+^{1/2}} \right)}{\sqrt{1+\frac{3}{4}|a(x/t)|^2(1-|x/t|^2)_+^{-1}\log t}} + O \left(t^{-1/2} (\log t)^{-3/2} \right), \qquad t \to \infty
$$
와 같이 행동함을 증명하였다. 물론 이 때 $L^\infty$ decay 를 살펴보면, 위 근사공식의 분모의 $\log t$ 의 도움을 받아, 해는 $O(t^{-1/2}(\log t)^{-1/2})$ 의 order로 감소해 감을 알 수 있다. 즉, 이 경우 해는 자유해의 decay에 비해 $(\log t)^{-1/2}$ 만큼의 추가적인 decay를 얻게 된다.
 
4. 연립 ($\boldsymbol{N\ge 2}$)인 경우에 대한 최신 결과

연립인 경우에는 상황이 아주 복잡해진다. 즉 위 $\text{(NLKG)}$에서 비선형항 $F_j$ 의 형태 뿐만 아니라, 질량 $m_j$ 들의 변화에 따라서도 결과가 판이하게 달라진다. 간단하게 표현하기 위해서 여기서는 $N=2$ 인 경우의 특정한 예들만을 다루도록 하겠다 (물론 아래 reference들은 $N\in\N$ 을 다루고 있지만 큰 틀을 보기에는 2차 연립방정식으로도 충분하다).

먼저 다음과 같은 형태의 2차 연립 방정식을 생각해 보자:
$$
\text{(S1)}\left\{
\begin{array}{l}
(\Box + m_1^2)u_1 = F_1(u_2,\pa_t u_2, \pa_x u_2), \\
(\Box + m_2^2)u_2 = F_2(u_1,\pa_t u_1, \pa_x u_1).
\end{array}
\right.
$$
[12]에 의하면, 만약 질량들이 다음의 질량조건
$$
(m_1 – 3m_2)(m_1-m_2)(3m_1-m_2) \neq 0
$$
을 만족한다면, 비선형항 $F$ 에 어떤 구조적인 제약 없이도, $\text{(S1)}$ 은 SDGE를 만족하며, 그 해는 자유해로 근사되게 된다. 따라서 지금부터 우리의 관심은 위의 질량 조건이 성립하지 않는 경우이다 (그런 경우를 보통 Mass Resonance 라고 한다). 즉 우리의 관심은 이제 질량이
$$
m_1 = 3m_2, \qquad m_1 = m_2, \qquad m_2 = 3m_1
$$
인 경우에 한하게 된다. 가장 간단한 $m_1 = m_2$ 의 경우에 대해 살펴보자. 이 경우에는 다음의 연립방정식:
$$
\text{(S2)}\left\{
\begin{array}{l}
(\Box + 1)u_1 = (u_1^2 + u_2^2) u_1, \\
(\Box + 1)u_2 = (u_1^2 + u_2^2) u_2
\end{array}
\right.
$$
에 대한 [14]의 결과가 있다. [14]에 의하면, $\text{(S2)}$에 대해서 SDGE가 성립하고 그 해는 $O(t^{-1/2})$의 $L^\infty$ decay를 만족한다. 여기서 잠깐, $U=u_1 + iu_2$로 본다면, $\text{(S2)}$는 위에서 언급한 단독 방정식 $(\Box + 1)u = u^3$ 의 복소수 버전으로 볼 수 있다. 단독인 경우에는 [10]에서와 같이 SDGE가 성립하고, 그 해는 자유해로 근사되지만, 거기서 사용한 방법은 $\text{(S2)}$ 에 적용하기 어렵다. 결국 [14]에서는 별도의 방법을 사용하여 SDGE를 보였고 decay도 자유해의 decay와 같다는 것을 보였지만, 긴 시간이 흐른 후 해가 구체적으로 어떻게 행동하는지에 대해서는 일종의 예상만을 하고 있다.

이 즈음하여 우리는 다음과 같은 질문을 자연스럽게 던질 수 있다.

“Mass Resonance일 경우 SDGE가 성립한다면,
그 해는 적어도 자유해의 decay와 같거나 빠르게 감소하는가?”

이 질문에 대한 대답은 “No” 이다. 구체적으로 다음의 연립방정식:
$$
\text{(S3)}\left\{
\begin{array}{l}
(\Box + m_1^2)u_1 = \alpha u_2^4, \\
(\Box + m_2^2)u_2 = \beta u_1^3
\end{array}
\right.
$$
을 생각해 보자. 여기서 간단히 $m_1 \le m_2$ 로 두고, $\alpha, \beta \in \R$ 이라고 하자. [13]에 의하면, $\text{(S3)}$의 해는 다음의 근사공식을 만족한다:
$$u_1(t,x) = \frac{1}{m_1 \sqrt{t}} \text{Re} \left( a(x/t)e^{im_1(t^2 – |x|^2)_+^{1/2}} \right) + O(t^{-1+\delta}),$$
$$ u_2(t,x) = \frac{1}{m_2 \sqrt{t}}\text{Re} \left((A(x/t)\log t + b(x/t)) e^{im_2(t^2 – |x|^2)_+^{1/2}} \right)+O(t^{-1+\delta}).$$
여기서 $\delta$ 는 충분히 작은 양수이며, $a(y), b(y)$ 는 smooth한 복소함수로 위에서와 마찬가지로 $|y|\ge 1$ 일 때 0이 되는 적당한 함수이다. 여기서 주목할 것은 함수 $A(x/t)$ 이다. [13]에 의하면, Mass Resonance 이외의 경우에는 $A(x/t)$ 가 0이 되어 자유해로 근사되지만, 만일 Mass Resonance의 경우 (즉, $m_2=m_1$ or $m_2=3m_1$ 인 경우)에는 $A(x/t)$ 가 여전히 생존하게 된다. 즉, 위 $u_2$ 의 근사공식에서 괄호 안의 $\log t$ 때문에 $u_2$는 최소한 $O(t^{-1/2}\log t)$ 보다 빨리 감소하지 못하게 되어 버린다. 따라서 우리는 [13]을 통해, 자유해의 decay order인 $O(t^{-1/2})$ 조차도 Mass Resonance의 경우에는 일반적으로 기대하기 힘들다는 결론을 내릴 수 있다.

하지만 Mass Resonance인 경우라 하더라도, 특정한 구조의 비선형항에 대해서는 자유해의 decay order 혹은 심지어 그보다 빠른 decay order 도 기대할 수도 있다. 예를 들어 다음과 같은 Nonlinear Dissipation 형태의 비선형항을 갖는 연립방정식을 생각해 보자:
$$
\text{(S4)}\left\{
\begin{array}{l}
(\Box + 1)u_1 = -\left( (\pa_t u_1)^2 + (\pa_t u_2)^2\right)\pa_t u_1, \\
(\Box + 1)u_2 = -\left( (\pa_t u_1)^2 + (\pa_t u_2)^2\right)\pa_t u_2.
\end{array}
\right.
$$
[15]에 의하면, $\text{(S4)}$에 대해서 SDGE가 성립하고, 그 해는 $O(t^{-1/2}(\log t)^{-1/2})$ 의 $L^\infty$ decay order, 즉 자유해의 decay order 보다 빠르게 감소하게 된다.

이처럼 1차원 연립 클라인 골든 방정식의 Mass Resonance 상황에서는 해에 대해 그 무엇도 쉽사리 말할 수 없다고 볼 수 있다. 쓰다 보니 내용이 좀 난잡하게 된 감이 없지 않아 있는데, 다음 포스트에서는 표 등의 툴을 이용해서 결과들을 조금 더 명확히 정리하고 남은 과제는 무엇인지 한 번 살펴볼까 한다.
 
References.

  1. Leun Kim, 근황 : Klein-Gordon Equation 연구 (2013년 4월 13일).
  2. Leun Kim, History of Some Major Works to the Klein-Gordon equations.
  3. J. Shatah, Global existence of small solutions to nonlinear evolution equations, J. Differential Equations, 46 (1982), 409-425.
  4. S. Klainerman and G. Ponce, Global small amplitude solutions to nonlinear evolution equations, Comm. Pure Appl. Math., 36 (1983), 133-141.
  5. S. Klainerman, Global existence of small amplitude solutions to nonlinear Klein-Gordon equations with small data in four space-time dimensions, Comm. Pure Appl. Math., 38 (1985), 631-641.
  6. J. Shatah, Normal forms and quadratic nonlinear Klein-Gordon equations, Comm. Pure Appl. Math., 38 (1985), 685-696.
  7. B. Yordanov, Blow-up for the one-dimensional Klein-Gordon equation with a cubic nonlinearity, unpublished work, 1995.
  8. K. Moriyama, Normal forms and global existence of solutions to a class of cubic nonlinear Klein-Gordon equations in one space dimension, Differential Integral Equations, 10 (1997), 499-520.
  9. S. Katayama, A note on global existence of solutions to nonlinear Klein-Gordon equations in one space dimension, J. Math. Kyoto Univ., 39 (1999), 203-213.
  10. J. M. Delort, Existence globale et comportement asymptotique pour l’equation de Klein-Gordon quasi lin’eaire `a donn’e es petites en dimension 1, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.(4), 34 (2001), 1-61.
  11. H. Sunagawa, Large time behavior of solutions to the Klein-Gordon equation with nonlinear dissipative terms, J. Math. Soc. Japan, 58 (2006), 379-400.
  12. H. Sunagawa, On global small amplitude solutions to systems of cubic nonlinear Klein-Gordon equations with different mass terms in one space dimension, J. Differential Equations, 192 (2003), 308-325.
  13. H. Sunagawa, Large time asymptotics of solutions to nonlinear Klein-Gordon systems, Osaka J. Math., 42 (2005), 65-83.
  14. H. Sunagawa, Remarks on the asymptotic behavior of the cubic nonlinear Klein-Gordon equations in one space dimension, Differential Integral Equations, 18 (2005), 481-494.
  15. D. Kim and H. Sunagawa, Remarks on decay of small solutions to systems of Klein-Gordon equations with dissipative nonlinearities, Nonlinear Analysis, 97 (2014), 94-105.

 

 
I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.



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