[M2 Seminar I] Week 5 : System으로의 진화 시작

Group study

2013년 5월 27일 (월) 오늘은 연구실의 다른 석사 2년차 친구들 세미나에 참석했다. 그들도 연구에 별다른 진전이 없는 것은 마찬가지. PDE 전공의 석사들은 (굉장히 뛰어난 경우를 제외하고) 대개 연구 방향이 정해져 있다. 그것은 기존의 결과 (보통 최근 5년-10년 이내)를 모방하여 비슷한 … Continue reading

History of Some Major Works to the Klein-Gordon equations

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Nonlinear Klein-Gordon Equation(NLKG) 의 역사(?)를 간단히 정리해 보았습니다. 방정식 자체의 역사는 길지 몰라도, 방정식을 “수학적인 방법”으로 공략해서 성과를 얻어낸 역사는 생각보다 그리 길지 않습니다. 구체적으로 다음과 같은 형태의 NLKG의 역사에 대해 알아보겠습니다. $$(\square +1) u = F(u, \partial u),\;\;\;t\geqslant 0, … Continue reading

ERA 2010 Mathematics Journal Rankings

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ERA 2010 Mathematics Journal Rankings 입니다. 어떤 기준인지는 잘 모르겠지만, 저널들마다 A*, A, B, C, NR의 5단계 등급으로 영향력이 나누어져 있습니다. A*급 중에서 제가 친숙한 저널은 Comm. Pure. Appl. Math., Comm. Partial Differential Equations, Comm. Math. Phys., J. Math. Pures … Continue reading

Introduction to the Free Klein-Gordon Evolution Group

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In this post, we introduce the factorization technique to analyze nonlinear Klein-Gordon equation proposed by N. Hayashi which is similar to the nonlinear Schrodinger equation. For this purpose we reduce the original problem by the certain way and we decompose … Continue reading

테렌스 타오 (Terence Tao)를 만나다!

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(예전 네이버 블로그를 정리하면서, 2010년 2월경에 포스팅되어 있던 테렌스 타오 관련 포스트를 이곳에 옮겨 둡니다!)   9살, 호주 수학 경시대회 최연소 우승 11살, 국제 수학 올림피아드 최연소 동메달 12살, 국제 수학 올림피아드 최연소 은메달 13살, 국제 수학 올림피아드 최연소 금메달 … Continue reading

근황 : Klein-Gordon Equation 연구 (2013년 4월 13일)

일단 NLKG(Nonlinear Klein-Gordon Equation)을 연구하기 시작했습니다. 전부 떠벌리기는 어렵고 개략적으로는 아래와 같은 Cauchy Problem을 연구합니다. $$ (\square + m) u(t,x) = F (u, \partial u), \;\;\; t \geqslant 0, \;\;\; x \in \mathbb R^n \;\;\; \text{with} \;\;\; (u, \partial_t u) … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 1~4 : $\sqrt{\log t}$를 달기 위한 여정의 시작

Group study

[latexpage] 블로그 활동이 너무 뜸해서 연구일지나 쓰려고 합니다. 구체적인 연구내용이나, 세미나 발표자료들은 연구가 끝나는 대로 공개하도록 하겠습니다! 2013년 4월 12일 (금) 본격적인 M2 세미나가 시작되었다. 지도교수로부터 1-dimensional Klein-Gordon equation에 대한 여러 논문들을 추천받아 왔다. 방콕모드를 가동시켜서 일단 받아 온 논문들을 … Continue reading

[Differential Equations II] Final Report

In this report, we study the global existence of solutions to nonlinear dispersive wave equations \begin{eqnarray*}\partial_t^2 u + \frac{1}{\rho^2} |\partial_x|^{2\rho} u &=& \lambda |\partial_t u |^{p-1} \partial_t u\end{eqnarray*} in one space dimension where $0 < \rho \leqslant 2$, $\rho \neq … Continue reading

교토대학 대학원 수학과 면접후기 [일본 대학원]

제 메일함은 블로그 덕분에 일본대학원 유학에 관한 문의메일로 늘상 붐빕니다만, 이번에 다음달 교토대학 대학원 수학과에 수험한다는 분의 메일에 답장을 하고 있으려니, 작년 이맘 때 교토대학에서의 패배가 다시금 떠오르는군요. 교토대학 수학과 문의메일은 처음이었기에.. 필기시험의 기하문제였나요, 사상도(写像度)라는 용어도 문제에서 처음 보았지요. 필기시험 … Continue reading

[M1 Seminar II] Week 8 : Lorentz Invariance of the Wave Equations

Now we will introduce some lemmas for the proof of the global existence theorem for the nonlinear wave equations with quadratic nonlinearities. The exsistence theorem which was proven before gives $n >5$ for the quadratic nonlinearities. But in fact this … Continue reading

[M1 Seminar II] Week 7 : A Global Existence Theorem for Nonlinear Wave Equations

We consider the following initial value problem \[ y_{tt} – \Delta y = f(Dy,\nabla Dy)\;\;\;\;\text{with}\;\;\;\; y(t=0) = y_0,\; y_t (t=0) = y_1 \tag{P} \] with $f \in C^\infty ( \Bbb R^{(n+1)^2}, \Bbb R)$, $\exists \alpha \in \Bbb N$ such that … Continue reading

1옥타브를 왜 하필 12음계로 구분했을까?

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여러분은 음악을 접하면서 왜 하필 한 옥타브(가령 C~C)를 12개의 음(C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B)으로 나누었는지 궁금해 하셔 본 적이 있나요? 한 옥타브를 5개의 음으로 나누거나, 20개의 음으로 나눌 수도 있을텐데 왜 하필 12음계로 … Continue reading

편미분 방정식 전공 서적 리뷰 (PDE, Partial Differential Equations Book)

이 쯤에서 그간 읽거나 접했던 PDE 전공서적을 리뷰 해 볼까 합니다. 아직 책을 평가할 수준이 절대로 안 되기 때문에 나름대로의 감상평에 불과합니다.   1. F. John. Partial Differential Equations. Springer. Courant의 제자 F. John이 쓴 책입니다. PDE 입문용으로 적당한 것 … Continue reading

[M1 Seminar II] Week 6 : Weighted a priori Estimates for Small Data

For the proof of the global existence theorem of nonlinear wave equations, this a priori estimates is essential as well as the high energy estimates. Also the high energy estimates play an important role in the proof of a priori … Continue reading

[M1 Seminar II] Week 5 : High Energy Estimates

We prove the high energy estimates for the nonlinear wave equation on the nonlinearity $\alpha =1$. In fact, this problem is a special case of the quasi-linear symmetric hyperbolic system with some assumptions. By the help of the previous existence … Continue reading

[M1 Seminar II] Week 4 : Regularities of the Solution and and Improved Existence Theorem

We proved the right-continuity of the solution at the initial time in $W^{s,2}$ which implies the continuity of the whole interval. And by the PDE and Sobolev embedding theorem, we can easily get the regularity in the existence theorem. Also … Continue reading

[M1 Seminar II] Week 3 : Regularities of the Solution

This week we will prove that the solution of the system $u$ is in $C^0([0,T], W^{s,2}) \cap C^1([0,T], W^{s-1,2})$ so that $u \in C_b^1 ([0,T] \times \Bbb R^n)$. For this purpose we first show that $u \in L^\infty ([0,T], W^{s,2})$, … Continue reading

[M1 Seminar II] Week 2 : Local Existence for Quasi-linear Symmetric Hyperbolic Systems (2)

This week, we will prove the local existence of quasi-linear symmetric hyperbolic systems by using $u^{k}$ which is iteratively defined by the solution of the linear symmetric hyperbolic system. For this purpose we first proved the boundedness of $u^k$ in … Continue reading

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