[Calculation 6] Kummer’s Theorem

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Theorem. (Kummer’s Theorem) $$ {}_2 F_1 (a,b;1+a-b;-1) = \frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma\left(1+\frac{1}{2}a\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac{1}{2}a-b\right)} $$   To prove Kummer’s theorem, we introduce the following lemma, which is called Kummer’s quadratic transformation:   Lemma. (Kummer’s Quadratic Transformation) \begin{equation}\tag{1} {}_2 F_1 (a,b;1+a-b;z) = (1-z)^{-a} {}_2 F_1 \left( … Continue reading

[Calculation 5] Gauss’s Summation Formula

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Theorem. (Gauss’s Summation Formula) For $\text{Re}c>\text{Re}b>0$, $$ {}_2 F_1 (a,b;c;1) = \frac{\Gamma(c) \Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} $$ holds.   Proof. We remember that the Euler Integral Representation for the hypergeometric function is $$ _2 F_1 (a,b;c;z) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \int_0^1 \frac{t^{b-1} (1-t)^{c-b-1}}{(1-tz)^a}\,dt. $$ Taking … Continue reading

[Calculation 4] Saalschütz’s Theorem

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Theorem. (Saalschütz’s Theorem) $$ {}_3 F_2 (a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1) = \frac{(c-a)_n (c-b)_n}{(c)_n (c-a-b)_n} $$ holds for $n\in \mathbb N_0$.   Proof. We recall the Euler Transformation Formula: $$(1-z)^{a+b-c} {}_2 F_1 (a,b;c;z) = {}_2 F_1 (c-a,c-b;c;z).$$ Equating the coefficients of $z^n$ from both … Continue reading

[Calculation 3] Euler’s Transformation Formula

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Theorem (Euler’s Transformation Formula) $${}_2 F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b} {}_2 F_1 (c-a,c-b;c;z)$$   Proof. Applying Pfaff’s Transformation Formula twice, we obtain \begin{eqnarray*} {}_2 F_1(a,b;c;z) &=& (1-z)^{-a} {}_2 F_1 \left(a,c-b;c; \frac{z}{z-1} \right)\\ &=& (1-z)^{-a} \left(1-\frac{z}{z-1}\right)^{b-c} {}_2 F_1 \left(c-a,c-b;c;\frac{\frac{z}{z-1}}{\frac{z}{z-1} -1} \right)\\ &=& … Continue reading

[Calculation 2] Pfaff’s Transformation Formula

Hypergeometric Function

Theorem. (Pfaff’s Transformation Formula) $${}_2 F_1(a,b;c;z) = (1-z)^{-a} {}_2 F_1 \left(a,c-b;c; \frac{z}{z-1} \right)$$   Proof. We remember the Euler Integral Representation for the hypergeometric function: $$ {}_2 F_1 (a,b;c;z) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1} (1-tz)^{-a}\,dt. $$ Substitution $t=1-s$ yields \begin{eqnarray*} {}_2 … Continue reading

[Calculation 1] Fundamentals of Hypergeometric Functions

Hypergeometric Functions

The classical hypergeometric function ${}_{2}F_1$ is defined by $$ {}_{2}F_1(a,b;c;z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} \frac{z^k}{k!} $$ where $(\cdot)_k$ is Pochhammer symbol, that is, $$ (q)_k = \frac{\Gamma(q+k)}{\Gamma(q)} $$ provided that $q+k$ is not a negative integer, with the convention $1/{\pm\infty} = … Continue reading

[M2 Seminar II] 투고한 저널에서 회신이 오다, nearly accepted ?

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지난 학기에 첫번째로 투고한 저널에서 무려 3개월 반만에 심사에 대한 회신이 도착했다. 결과부터 말하면 “수정 후 게재”. 회신을 받고 나서 너무 기쁘고 설렌 마음이 되어 그런지, 마음이 뭔가 답답해졌다. 그래서 오늘은 때아닌 소화불량으로 좀 고생을 했다 -_-; 최종본을 완성하고 나서도 … Continue reading

[M2 Seminar II] 세미나 발표 준비 – 길었던 금요일

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M2 세미나를 위한 최종 세팅 후 퇴실 2013년 11월 9일 (금) 오늘은 세미나가 몰려 있는 바람에 꽤나 바쁜 날이었다. 10:30~12:00, 오오무카이 군의 세미나 참석 13:00~13:50, 나 자신의 세미나 14:00~15:00, 야스에 군의 세미나 참석 15:30~17:00, 카타야마 교수의 세미나 참석 결국 원래 … Continue reading

[M2 Seminar II] 세미나 발표 준비 – Beamer 초안을 완성하다

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2013년 10월 28일 (월) 몇 주 전에 지도교수로부터 도쿄이과대학과 오사카대학이 연합으로 주최하는 공식 세미나에서 논문 발표를 맡아 달라는 연락을 받았다. 그저 여유롭게 석사 논문 발표회만 하면 되는줄 알고 있었던 나에게는 발등에 불이 떨어진 셈! 도쿄이과대학 측에서 모두 프리젠테이션으로 발표한다고 하길래, … Continue reading

Several Basic Inequalities for PDEs

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In mathematics, especially in analysis and PDEs, we evaluate or compare some mathematical quantities in order to reach a desired conclusion. Of course, equality is the best one, however, in many situations we cannot reach our goal only with equalities. … Continue reading

또 다른 시작 (오사카대학 입학식 후기)

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오늘은 오사카 대학 입학식에 다녀왔습니다. 입학식의 장소는 오사카성 홀. 오사카 성 홀 입구 총장, 각 연구과장, 각 학과장들의 모습 들어가자 마자 엄청난 인파에 깜짝 놀랐습니다. 학부생들은 1층으로, 대학원생들과 동반자는 2층으로 안내 되었습니다. 저는 그냥 아무자리에나 착석. 다음으로 학부생 대표와 대학원생 … Continue reading

[Differential Equations I] A Report on Differential Equations I

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[Differential Equations I] A Report on Differential Equations I This file provides the solution for the exercises given in the class. Exercise 1 gives an elementary proof of the Sobolev inequality. Exercise 2 and Exercise 3 introduce a basic energy … Continue reading

[Systems Analysis] A Report on Theory of Systems Analysis

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A Report on Theory of Systems Analysis Theory_of_Systems_Analysis   Related Posts ?[M2 Seminar II] Accepted ![Topics in Analysis] Final ReportA Report on Adaptive Signal Processing (ADSP)[M1 Seminar II] Week 1 : Local Existence for Quasi-linear Symmetric Hyperbolic Systems[M1 Seminar II] … Continue reading

[M2 Seminar I] Final : arXiv에 업로드

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2013년 7월 31일 (수) 지도교수로부터 논문을 arXiv에 올려달라는 메일을 받았다. 투고 저널 관계자로부터의 메일도 전달  받았다. arXiv에는 처음 업로드 해 보는 것인지라, 또 나 혼자만의 연구가 아닌지라, 신중하게 업로드 했다. 아래 링크를 클릭하면, 논문을 다운받아 볼 수 있다. http://arxiv.org/abs/1307.7890 이것으로 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 11 : 최종본의 완성

Group study

2013년 7월 29일 (월) 드디어 최종 검토를 마치고 지도교수에게 모든 것을 전송했다. 이후 지도교수가 몇몇 문자들을 수정하였고, 계산을 몇 줄 생략하거나 보기좋게 다듬었다. 나 또한 그에 동의했고 비로소 완전한 논문 최종본을 받았다. 이제 투고하기만 하면 된다. 지도교수가 일전에 나에게 투고 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 10 : 사소한 계산 실수

Group study

2013년 7월 15일 (월) 증명 끝 부분에서 계산실수가 조금 발견되었다. 결국 2개의 Theorem으로 구성되었던 논문이 3개의 Theorem으로 구성되게 되었다. 추가적으로 특정한 비선형항을 예시로 들어서 Remark도 하나 더 넣었다. 애초의 Theorem에서 조금 약해졌긴 했지만, 논문에 크게 영향을 미치는 것은 아니었다. 다른 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 9 : 약간의 수술

Group study

[latexpage] 2013년 7월 12일 (금) 금주에 지도교수로부터 순서를 좀 변경하면 좋을 것 같다는 메일을 받았다. 기존의 것은 특별한 비선형 항을 먼저 언급하고 그것에 대해 증명했다. 그 후 그것을 일반화시킨 항에 대한 증명을 실었다. 하지만, 이번에 수정한 것은 둘의 순서를 교환한 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 8 : 조금 쉬어가기

Group study

[latexpage] 2013년 7월 8일 (월) 거의 한 달 만에 세미나가 시작되었다. 지도교수도가 이런저런 출장으로 바쁜 한달을 보냈기 때문이다. 한 달 동안 내게 “다른 문제들을 찾아보고 자유롭게 연구해 보세요” 라는 지령을 받았지만, 결과적으로 하나도 결과가 나온게 없다. 가장 많은 시간을 들인 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 7 : 논문 초안을 완성하다

Group study

[latexpage] 2013년 6월 7일 (금) 오늘 세미나에서 일단 이 연구를 마무리했다. 최종적으로 얻어진 결과를 말로 표현하자면 “조그맣고 귀여운” 그런 느낌이다. 비선형항이 특정 조건을 만족하면 $(\log t)^{-1/2}$ 만큼의 추가적인 time-decay가 나와준다. 별 문제 없이 세미나 발표를 끝내고 지도 교수와 출판에 관한 … Continue reading

[M2 Seminar I] Week 6 : 끝이 보이기 시작하다

Group study

2013년 5월 30일 (목) Fourier series가 포함된 계산들을 하다보니, 개념은 간단한 것인데도 불구하고 수식이 너무 복잡해져 버렸다 OTL. 내일이 세미나인데 빨리 다른 표현을 찾지 않으면… 아래는 작업하던거 일부분 복사+붙여넣기: (이후삭제) 오늘도 계산의 소용돌이 속에서 별이 바람에 스치운다..   2013년 5월 … Continue reading

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