In this post, we introduce some recent works to the single nonlinear Klein-Gordon equations in one space dimension. It should be noted that cubic nonlinear Klein-Gordon equations in one space dimension are of special interest, because the large-time behavior of … Continue reading
이 쯤 해서 내 나름대로 정리도 할 겸 클라인 골든 방정식(Klein-Gordon Equation)에 대한 포스트를 써 두어 본다. 먼저 1절에서는 $n$ 차원 클라인 골든 방정식에 대한 고전 결과들을 소개하고, 2절에서는 업계(?)에서 주로 쓰는 용어들을 설명한다. 3절에서는 단독(単独) 1차원 클라인 골든 방정식에 … Continue reading
2013년 12월 16일 (월) 학교로부터 제출용, 자료 배포용으로 석사논문 간이(簡易) Abstract를 2페이지 이내로 압축해 달라는 알림을 받았다. 그래서 일단 전체 TeX를 복사 + 붙여넣기 한 후 하나하나씩 줄여 나가기 시작… 그런데 이거도 보통 힘든 일이 아니다. 폰트 크기를 줄이고, 참고문헌 … Continue reading
2013년 11월 30일 (토) 그간 준비했던 세미나 (若手研究者による実解析と偏微分方程式 2013) 발표를 무사히 끝냈다. 발표가 끝나고 결과에 대한 질문들을 꽤 많이 받았지만 대답하기 난처했던 질문은 다행히 받지 않았다(지도교수의 지원사격도 주요했다). 제한된 시간도 적절히 맞추었고, 전달하려 했던 내용들은 대부분 전달할 수 있어서 다행스럽게 … Continue reading
In this post, we introduce some useful formulas, which can be proved by the Jacobi Triple Product [2]. As before, we always denote $f$ as the Ramanujan Theta Function, which is defined in [3]. Corollary. If $|q|<1$ then, \begin{align*} … Continue reading
We introduce the Jacobi Triple Product Formula [1] here. Actually it can be easily obtained from the Ramanujan ${}_1\psi_1$ Summation Formula [2] with some proper coefficients. Here we denote $f$ as the Ramanujan Theta Function which is defined in [3] … Continue reading
In this post, we will introduce one of the famous formulas discovered by Ramanujan, which is called Ramanujan’s ${}_1\psi_1$ Summation Formula. It was first introduced by Hardy, and he called it as “a remarkable formula with many parameters”. The first … Continue reading
In this post, we introduce the Ramanujan theta functions $f(a,b)$, which generalize the form of the Jacobi theta functions. Here we define the Ramanujan theta function, and introduce some elementary properties. First, we define the Ramanujan theta function as $$ … Continue reading
In this post, we introduce q-Series and the q-Binomial theorem. For any complex number $a$, we write $$ (a;q)_k = (1-a)(1-aq)(1-aq^2) \cdots (1-aq^{k-1}) $$ where $|q|<1$. Also we write $$ (a;q)_\infty = \prod_{k=0}^\infty (1-aq^k). $$ With these notations, we will … Continue reading
논문 제목과 abstract를 입력하면 Elsevier의 어느 저널에 어울리는지 찾아주는 웹사이트. 우연히 페이스북을 통해 알게되었습니다. http://journalfinder.elsevier.com 덤으로 각 저널의 impact factor와 acceptance rate 도 나오는군요. 저도 한 번 테스트(?) 해 보았습니다. 상당히 똑똑한 놈이군요?! 음 이번에 투고한 Nonlinear Analysis는 2순위로 뜨는군요. … Continue reading
Theorem. The following holds: $$ \pi \;{}_2 F_1 \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; 1-x\right) = \log \left( \frac{16}{x}\right) {}_2 F_1 \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2};1;x\right) – 4 \sum_{k=1}^\infty \frac{(\frac{1}{2})_k^2}{(k!)^2} \sum_{j=1}^k \frac{x^k}{(2j-1)(2j)}. $$ Proof. First, we recall the Corollary in [2] with $a=b=-\frac{1}{2}$ … Continue reading
Theorem. Let $n \notin \mathbb Z$. Then we have \begin{align}\tag{1} &{}_2 F_1 \left( a+n+1, b+n+1; a+b+n+2; 1-z\right)\\ &\, \qquad\qquad\qquad=\frac{\Gamma(a+b+n+2)\Gamma(-n)}{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}\; {}_2 F_1 (a+n+1,b+n+1;n+1;z)\\ &\, \qquad\qquad\qquad\qquad+\frac{\Gamma(a+b+n+2)\Gamma(n)z^{-n}}{\Gamma(a+n+1)\Gamma(b+n+1)} \;{}_2 F_1 (a+1,b+1;-n+1;z). \end{align} Proof. We consider the following ODE, which is called hypergemoetric differential … Continue reading
Here we introduce some examples from the Dixon Theorem. By setting suitable coefficients, we can obtain simple formulas of infinite series, which are related to the Gamma functions. Example. From the Dixon Theorem, we have \begin{align*} &\text{(i) } 1 … Continue reading
이제 이 곳도 가을이 왔습니다. 토요나카 캠퍼스에도 단풍이 물들었길래, 한 번 이곳저곳 찍어 보았습니다. 기초공학부 앞에서 (基礎工学部前) 공통교육센터 앞 (共通教育センター前) 중앙도서관 앞 공원 1 (中央図書館前) 중앙도서관 앞 공원 2 (中央図書館前) 기초공학부에서 이학부로 가는 길 (基礎工学部から理学部へ) 이학부 맞은 편에 있는 … Continue reading
2013년 11월 26일 (월) 투고한 저널로부터 최종 acceptance 회신이 도착했다! accept된 저널은 Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 이다. 내심 1지망으로 투고한 곳이라 별 기대를 하지 않고 있었건만, 행운이 따라준 듯 싶다. 지도 교수에게 큰 절이라도 올려야 하나?!호호 올해는 여러가지 … Continue reading
Here we note Dixon’s theorem, which gives some special values of ${}_3 F_2$, since the proof is almost automatic by using Gauss and Kummer’s formulas which we’ve shown before. Theorem. (Dixon’s Theorem) $$ {}_3 F_2 (a,b,c;1+a-b,1+a-c;1) = \frac{\Gamma(1+\frac{a}{2})\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+\frac{a}{2}-b-c)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+\frac{a}{2}-b)\Gamma(1+\frac{a}{2}-c)\Gamma(1+a-b-c)} $$ … Continue reading
Corollary 1. For $\frac{1}{2} < z < 2$, $$ {}_2 F_1 \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2};1;1-\frac{1}{z}\right) = \sqrt{z} {}_2 F_1 \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2};1;1-z\right). $$ Proof. We recall Bailey’s Formula ((i) in [2]) for $w\in\mathbb R$: \begin{equation}\tag{1} (1-w)^{-a} {}_2 F_1 \left( a,b;c; – \frac{w}{1-w}\right) … Continue reading
2013년 11월 22일 (금) 저번 주에 투고한 저널의 referee들로부터 받은 리포트들을 참고하여, 거기서 요구하는 수정내용들을 수정했다. 추가로 remainder $Q_j$의 형태를 구체화시키고, 사소한 수정도 가미했다. 이 날 저녁 저널에 수정안을 보냈으니, 지도교수 말로는 아마 1주일 정도면 회신이 오지 않을까라고 한다. 오전 … Continue reading
Theorem. (Gauss’s Quadratic Transformation) \begin{equation}\tag{1} (1+z)^{-2a} {}_2 F_1 \left(a,b; 2b; \frac{4z}{(1+z)^2}\right) = {}_2 F_1 \left(a, 1+\frac{1}{2}-b;b+\frac{1}{2};z^2\right). \end{equation} Proof. The proof is almost similar to that of [2]. Note that the left hand side of (1) can be expanded in … Continue reading
Theorem. (Bailey) The followings are valid: \begin{align*} &\text{(i) } (1-z)^{-a} {}_2 F_1 \left( a,b;c; – \frac{z}{1-z}\right) = {}_2 F_1 (a,c-b;c;z),\quad|z|<1,\;\text{Re}z< \frac{1}{2},\\ &\text{(ii) } {}_2 F_1 \left( a,b; \frac{a+b+1}{2}; \frac{1}{2}\right) = \frac{\Gamma(\frac{1}{2}) \Gamma(\frac{1+a+b}{2})}{\Gamma(\frac{1+a}{2})\Gamma(\frac{1+b}{2})},\\ &\text{(iii) } {}_2 F_1 \left(a,1-a;c;\frac{1}{2}\right) = \frac{\Gamma(\frac{1}{2}c)\Gamma(\frac{c+1}{2})}{\Gamma(\frac{c+a}{2})\Gamma(\frac{1+c-a}{2})}. \end{align*} … Continue reading