Category : Mathematics

 
 

[Calculation 13] A Simple Formula Related to Digamma Functions

[Calculation 13] A Simple Formula Related to Digamma Functions

Theorem. The following holds: $$ pi ;{}_2 F_1 left( frac{1}{2}, frac{1}{2}; 1; 1-xright) = log left( frac{16}{x}right) {}_2 F_1 left( frac{1}{2}, frac{1}{2};1;[...]
[Calculation 12] A Basic Formula for Hypergeometric Functions

[Calculation 12] A Basic Formula for Hypergeometric Functions

Theorem. Let $n notin mathbb Z$. Then we have begin{align}tag{1} &{}_2 F_1 left( a+n+1, b+n+1; a+b+n+2; 1-zright)\ &, qquadqquadqquad=frac{Gamma(a+b+n+2)Gamma[...]
[Calculation 11] Simple Examples from the Dixon Theorem

[Calculation 11] Simple Examples from the Dixon Theorem

Here we introduce some examples from the Dixon Theorem. By setting suitable coefficients, we can obtain simple formulas of infinite series, which are related to the Gamma[...]
[M2 Seminar II] Accepted !

[M2 Seminar II] Accepted !

2013년 11월 26일 (월) 투고한 저널로부터 최종 acceptance 회신이 도착했다! accept된 저널은 Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 이다. 내심 1지망으로 투고한 곳이라 별 기대를 하지 않고 있었건만, 행[...]
[Calculation 10] Dixon Theorem

[Calculation 10] Dixon Theorem

Here we note Dixon's theorem, which gives some special values of ${}_3 F_2$, since the proof is almost automatic by using Gauss and Kummer's formulas which we've shown be[...]
[Calculation 9] Simple Corollaries from Gauss and Bailey Formula

[Calculation 9] Simple Corollaries from Gauss and Bailey Formula

Corollary 1. For $frac{1}{2} < z < 2$, $$ {}_2 F_1 left(frac{1}{2}, frac{1}{2};1;1-frac{1}{z}right) = sqrt{z} {}_2 F_1 left(frac{1}{2}, frac{1}{2};1;1-zri[...]
[M2 Seminar II] 논문 / Beamer 최종본 완성

[M2 Seminar II] 논문 / Beamer 최종본 완성

2013년 11월 22일 (금) 저번 주에 투고한 저널의 referee들로부터 받은 리포트들을 참고하여, 거기서 요구하는 수정내용들을 수정했다. 추가로 remainder $Q_j$의 형태를 구체화시키고, 사소한 수정도 가미했다. 이 날 저녁 저널에 수정안을 보냈으니, 지도교수 말로는 아마 1주일 정[...]
[Calculation 8] Gauss's Quadratic Trasformation

[Calculation 8] Gauss's Quadratic Trasformation

Theorem. (Gauss's Quadratic Transformation) begin{equation}tag{1} (1+z)^{-2a} {}_2 F_1 left(a,b; 2b; frac{4z}{(1+z)^2}right) = {}_2 F_1 left(a, 1+frac{1}{2}-b[...]
[Calculation 7] Bailey's Formulas for Hypergeometric Functions

[Calculation 7] Bailey's Formulas for Hypergeometric Functions

Theorem. (Bailey) The followings are valid: begin{align*} &text{(i) } (1-z)^{-a} {}_2 F_1 left( a,b;c; - frac{z}{1-z}right) = {}_2 F_1 (a,c-b;c;z),quad|z|<[...]
[Calculation 6] Kummer's Theorem

[Calculation 6] Kummer's Theorem

Theorem. (Kummer's Theorem) $$ {}_2 F_1 (a,b;1+a-b;-1) = frac{Gamma(1+a-b)Gammaleft(1+frac{1}{2}aright)}{Gamma(1+a)Gammaleft(1+frac{1}{2}a-bright)} $$ [...]
[Calculation 5] Gauss's Summation Formula

[Calculation 5] Gauss's Summation Formula

Theorem. (Gauss's Summation Formula) For $text{Re}c>text{Re}b>0$, $$ {}_2 F_1 (a,b;c;1) = frac{Gamma(c) Gamma(c-a-b)}{Gamma(c-a)Gamma(c-b)} $$ holds. [...]
[Calculation 4] Saalschütz's Theorem

[Calculation 4] Saalschütz's Theorem

Theorem. (Saalschütz's Theorem) $$ {}_3 F_2 (a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1) = frac{(c-a)_n (c-b)_n}{(c)_n (c-a-b)_n} $$ holds for $nin mathbb N_0$.   [...]
[Calculation 3] Euler's Transformation Formula

[Calculation 3] Euler's Transformation Formula

Theorem (Euler's Transformation Formula) $${}_2 F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b} {}_2 F_1 (c-a,c-b;c;z)$$   Proof. Applying Pfaff’s Transformation [...]
[Calculation 2] Pfaff’s Transformation Formula

[Calculation 2] Pfaff’s Transformation Formula

Theorem. (Pfaff’s Transformation Formula) $${}_2 F_1(a,b;c;z) = (1-z)^{-a} {}_2 F_1 left(a,c-b;c; frac{z}{z-1} right)$$   Proof. We remember the[...]
[Calculation 1] Fundamentals of Hypergeometric Functions

[Calculation 1] Fundamentals of Hypergeometric Functions

The classical hypergeometric function ${}_{2}F_1$ is defined by $$ {}_{2}F_1(a,b;c;z) = sum_{k=0}^infty frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} frac{z^k}{k!} $$ where $(cdot)_k$ is[...]
[M2 Seminar II] 투고한 저널에서 회신이 오다, nearly accepted ?

[M2 Seminar II] 투고한 저널에서 회신이 오다, nearly accepted ?

지난 학기에 첫번째로 투고한 저널에서 무려 3개월 반만에 심사에 대한 회신이 도착했다. 결과부터 말하면 "수정 후 게재". 회신을 받고 나서 너무 기쁘고 설렌 마음이 되어 그런지, 마음이 뭔가 답답해졌다. 그래서 오늘은 때아닌 소화불량으로 좀 고생을 했다 -_-; 최종본을 완성하고 나서도 [...]
[M2 Seminar II] 세미나 발표 준비 – 길었던 금요일

[M2 Seminar II] 세미나 발표 준비 – 길었던 금요일

M2 세미나를 위한 최종 세팅 후 퇴실 2013년 11월 9일 (금) 오늘은 세미나가 몰려 있는 바람에 꽤나 바쁜 날이었다. 10:30~12:00, 오오무카이 군의 세미나 참석 13:00~13:50, 나 자신의 세미나 14:00~15:00, 야스에 군의 세미나 참[...]
[M2 Seminar II] 세미나 발표 준비 - Beamer 초안을 완성하다

[M2 Seminar II] 세미나 발표 준비 - Beamer 초안을 완성하다

2013년 10월 28일 (월) 몇 주 전에 지도교수로부터 도쿄이과대학과 오사카대학이 연합으로 주최하는 공식 세미나에서 논문 발표를 맡아 달라는 연락을 받았다. 그저 여유롭게 석사 논문 발표회만 하면 되는줄 알고 있었던 나에게는 발등에 불이 떨어진 셈! 도쿄이과대학 측에서 모두 프리젠테이션으로 발표[...]
Several Basic Inequalities for PDEs

Several Basic Inequalities for PDEs

In mathematics, especially in analysis and PDEs, we evaluate or compare some mathematical quantities in order to reach a desired conclusion. Of course, equality is the be[...]
[Differential Equations I] A Report on Differential Equations I

[Differential Equations I] A Report on Differential Equations I

[Differential Equations I] A Report on Differential Equations I This file provides the solution for the exercises given in the class. Exercise 1 gives an elementary proo[...]
[Systems Analysis] A Report on Theory of Systems Analysis

[Systems Analysis] A Report on Theory of Systems Analysis

A Report on Theory of Systems Analysis Theory_of_Systems_Analysis  [...]
[M2 Seminar I] Final : arXiv에 업로드

[M2 Seminar I] Final : arXiv에 업로드

2013년 7월 31일 (수) 지도교수로부터 논문을 arXiv에 올려달라는 메일을 받았다. 투고 저널 관계자로부터의 메일도 전달  받았다. arXiv에는 처음 업로드 해 보는 것인지라, 또 나 혼자만의 연구가 아닌지라, 신중하게 업로드 했다. 아래 링크를 클릭하면, 논문을 다운받아 볼 수 있다. [...]
[M2 Seminar I] Week 11 : 최종본의 완성

[M2 Seminar I] Week 11 : 최종본의 완성

2013년 7월 29일 (월) 드디어 최종 검토를 마치고 지도교수에게 모든 것을 전송했다. 이후 지도교수가 몇몇 문자들을 수정하였고, 계산을 몇 줄 생략하거나 보기좋게 다듬었다. 나 또한 그에 동의했고 비로소 완전한 논문 최종본을 받았다. 이제 투고하기만 하면 된다. 지도교수가 일전에 나에게 투고 [...]
[M2 Seminar I] Week 10 : 사소한 계산 실수

[M2 Seminar I] Week 10 : 사소한 계산 실수

2013년 7월 15일 (월) 증명 끝 부분에서 계산실수가 조금 발견되었다. 결국 2개의 Theorem으로 구성되었던 논문이 3개의 Theorem으로 구성되게 되었다. 추가적으로 특정한 비선형항을 예시로 들어서 Remark도 하나 더 넣었다. 애초의 Theorem에서 조금 약해졌긴 했지만, 논문에 [...]
[M2 Seminar I] Week 9 : 약간의 수술

[M2 Seminar I] Week 9 : 약간의 수술

[latexpage] 2013년 7월 12일 (금) 금주에 지도교수로부터 순서를 좀 변경하면 좋을 것 같다는 메일을 받았다. 기존의 것은 특별한 비선형 항을 먼저 언급하고 그것에 대해 증명했다. 그 후 그것을 일반화시킨 항에 대한 증명을 실었다. 하지만, 이번에 수정한 것은 둘의 순서를 교환한 것[...]
[M2 Seminar I] Week 8 : 조금 쉬어가기

[M2 Seminar I] Week 8 : 조금 쉬어가기

[latexpage] 2013년 7월 8일 (월) 거의 한 달 만에 세미나가 시작되었다. 지도교수도가 이런저런 출장으로 바쁜 한달을 보냈기 때문이다. 한 달 동안 내게 "다른 문제들을 찾아보고 자유롭게 연구해 보세요" 라는 지령을 받았지만, 결과적으로 하나도 결과가 나온게 없다. 가장 많은 시간을[...]
[M2 Seminar I] Week 7 : 논문 초안을 완성하다

[M2 Seminar I] Week 7 : 논문 초안을 완성하다

[latexpage] 2013년 6월 7일 (금) 오늘 세미나에서 일단 이 연구를 마무리했다. 최종적으로 얻어진 결과를 말로 표현하자면 "조그맣고 귀여운" 그런 느낌이다. 비선형항이 특정 조건을 만족하면 $(log t)^{-1/2}$ 만큼의 추가적인 time-decay가 나와준다. 별 문[...]
[M2 Seminar I] Week 6 : 끝이 보이기 시작하다

[M2 Seminar I] Week 6 : 끝이 보이기 시작하다

2013년 5월 30일 (목) Fourier series가 포함된 계산들을 하다보니, 개념은 간단한 것인데도 불구하고 수식이 너무 복잡해져 버렸다 OTL. 내일이 세미나인데 빨리 다른 표현을 찾지 않으면... 아래는 작업하던거 일부분 복사+붙여넣기: (이후삭제) 오늘도 계산의 소용돌이 [...]
[M2 Seminar I] Week 5 : System으로의 진화 시작

[M2 Seminar I] Week 5 : System으로의 진화 시작

2013년 5월 27일 (월) 오늘은 연구실의 다른 석사 2년차 친구들 세미나에 참석했다. 그들도 연구에 별다른 진전이 없는 것은 마찬가지. PDE 전공의 석사들은 (굉장히 뛰어난 경우를 제외하고) 대개 연구 방향이 정해져 있다. 그것은 기존의 결과 (보통 최근 5년-10년 이내)를 모방하여 비슷[...]
History of Some Major Works to the Klein-Gordon equations

History of Some Major Works to the Klein-Gordon equations

Nonlinear Klein-Gordon Equation(NLKG) 의 역사(?)를 간단히 정리해 보았습니다. 방정식 자체의 역사는 길지 몰라도, 방정식을 "수학적인 방법"으로 공략해서 성과를 얻어낸 역사는 생각보다 그리 길지 않습니다. 구체적으로 다음과 같은 형태의 NLKG의 역사에 대해 알아보겠습니다[...]