About Leun Kim

I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.

Sonata Arctica – Don’t Say a Word

 

아는 형 중에 소나타 아티카 폐인이 한 명 있는데, 소나타 아티카 곡 중 명곡 하나만 뽑아보라니까 의외로 이 곡을 뽑더군요.

평범한 것 같아서 이유를 물어 봤더니 이런 명언을 남겼죠.

“미드템포의 적절한 스피딕과 멜로딕의 조화” 라고……

다음에는 같이 밴드 생활을 했던 드림씨어터 폐인인 친구와, 또 다른 밴드에서 기타를 치는 가르넬리우스 폐인인 형에게 똑같이 한 번 물어봐야 겠습니다…

 

Buckethead – Lone Sal Bug

bucket01



 

우연히 서빌리를 통해 알게된 버켓헤드의 곡.
이 곡을 처음 들었을 때에는, 마치 트랙 길이가 무한대인 원곡에서
5분 정도 잘라내어 우리들에게 잠깐 들려주는 듯한(?) 느낌을 받았습니다.
(이건 뭔 개소리야!)



buckethead

그리고 아래는 또 다른 좋아하는 곡들 중 하나.


 

[M1 Seminar] Week 13 : Elementary Inequalities on the Klainerman Vector Field

We construct the Klainerman vector field with some operators which were defined in the last seminar. And we prove some basic inequalities of these family of operators which play an important role for our final goal.

M1_Semi_Week13

week13M1s by .

 

라온제나 – 보컬의 매력에 빠지다.

유튜브에서 이것저것 듣다가 우연히 발견하게 된 밴드. 이름은 ‘라온제나’ 라는군요. 

무엇보다도 보컬톤이 너무 마음에 들어서 요즘 계속 듣고 있네요 ㅎㅎ

 

라온제나 – 음악시간(커버), 대학로 마로니에 공원

 

 

라온제나 – 월급타고파, 2011년 LUCAUS @중앙대 해방광장

 

 

 

[M1 Seminar] Week 11,12 : Introduction to the Klainerman Vector Field

We introduce the Klainerman vector field and prove some commutator relations which will play an important role in the proof of the global existence theorem for the nonlinear wave equations.

M1_Semi_Week11-12

M1week12 by .

 

Hardy’s Inequality

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Theorem 1. (Hardy’s Inequality for Sums)

Let $p >1$ and $ a_n \geqslant 0$ for all $n$. If $ \{ a_n \}_1^{\infty} \in \ell^p $, then $ \left \{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k \right \}_{1}^{\infty} \in \ell^p $ and  $$ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \right)^p \leqslant \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \sum_{n=1}^\infty a_n^p . $$

Proof. Note that if it holds for $a_1 >0$ then it also holds for $a_1 \geqslant 0$. Let $a_1 >0$ and define $ \alpha_n := \frac{a_1 + \cdots a_n}{n}, \; \alpha_0 = 0$. Then \begin{eqnarray} \alpha_n^p – \frac{p}{p-1} a_n \alpha_n^{p-1} &=& \alpha_n^p – \frac{p}{p-1} ( n \alpha_n – (n-1) \alpha_{n-1} ) \alpha_n^{p-1} \\ &=& \alpha_n^p \left( 1 – \frac{np}{p-1} \right) + \frac{(n-1)p}{p-1} \alpha_n^{p-1} \alpha_{n-1} \\ & \leqslant & \alpha_n^p \left( 1 – \frac{np}{p-1} \right) + \frac{n-1}{p-1} \left( (p-1) \alpha_n^p + \alpha_{n-1}^p \right) \\ &=& \frac{1}{p-1} \left( (n-1) \alpha_{n-1}^p – n \alpha_n^p \right). \end{eqnarray} Thus we have $$ \sum_{n=1}^N \alpha_n^p – \frac{p}{p-1} \sum_{n=1}^N a_n \alpha_n^{p-1} \leqslant – \frac{N a_N^p}{p-1} \leqslant 0. $$ So by Hölder’s Inequality, $$ \sum_{n=1}^N \alpha_n^p \leqslant \frac{p}{p-1} \sum_{n=1}^N a_n \alpha_n^{p-1} \leqslant \frac{p}{p-1} \left( \sum_{n=1}^N a_n^p \right)^{1/p} \left( \sum_{n=1}^N \alpha_n^p \right)^{(p-1)/p} $$ or $$ \sum_{n=1}^N \alpha_n^p \leqslant \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \sum_{n=1}^N a_n^p $$ and by letting $N \to \infty$, we obtain Theorem 1.

 
Theorem 2. (Hardy’s Inequality for Integrals)

Let $p >1, \; f : (0, \infty) \to \mathbb R$ and $ f \geqslant 0$. If $f \in L^p (0, \infty)$ then $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt \in L^p (0, \infty)$ and $$ \int_0^\infty \left( \frac{1}{x} \int_0^x f(t)dt \right)^p dx \leqslant \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \int_0^\infty f^p (x) dx. $$

Proof. Define $F(x) := \int_0^x f(t) dt$ and let $ 0 < \epsilon < M$ then $$ \int_{\epsilon}^M \left( \frac{F(x)}{x} \right)^p dx = \frac{\epsilon^{1-p} F^p ( \epsilon)}{p-1} – \frac{M^{1-p} F^p (M)}{p-1} + \frac{p}{p-1} \int_{\epsilon}^M x^{1-p} F^{p-1}(x) f(x) dx . $$ Note that by Hölder’s Inequality, $$ \epsilon^{1-p} F^p (\epsilon) = \epsilon^{1-p} \left( \int_0^{\epsilon} f(t) dt \right)^p \leqslant \epsilon^{1-p} \int_0^{\epsilon} f^p (t) dt \left( \int_0^{\epsilon} dt \right)^{p-1} = \int_0^{\epsilon} f^p (t) dt \to 0 $$ as $\epsilon \to 0$. Thus by Hölder’s Inequality again, \begin{eqnarray} \int_0^M \left( \frac{F(x)}{x} \right)^p dx & \leqslant & \frac{p}{p-1} \int_0^M x^{1-p} F^{p-1} (x) f(x) dx \\ & \leqslant & \frac{p}{p-1} \left( \int_0^M \left( \frac{F(x)}{x} \right)^p dx \right)^{1-1/p} \left( \int_0^M f^p (x) dx \right)^{1/p} \end{eqnarray} or w.l.o.g, if $f$ is not null, $$ \int_0^M \left( \frac{F(x)}{x} \right)^p dx \leqslant \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \int_0^M f^p(x) dx $$ and by letting $M \to \infty$, we obtain Theorem 2.

References.
[1] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya (1934). Inequalities.

 

3 Simple Proofs of the Cauchy-Schwarz Inequality

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Theorem. (Cauchy-Schwarz Inequality)
Let $X$ be an inner product space with a given inner product $ \langle \cdot , \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb F ( \mathbb R \; \text{or} \; \mathbb C ) $. Then $$ | \langle x,y \rangle |^2 \leqslant \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle $$ for any $x,y \in X$.


Proof (1)
If $y = 0$ then it’s trivial. Let $y \neq 0$ and define $z := x – \frac{ \langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} y$ so that $\langle z,y \rangle = 0$. Then we have
\begin{eqnarray}
\langle x,x \rangle &=& \left \langle \frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} y + z , \frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle} y + z \right \rangle \\ &=& \frac{| \langle x,y \rangle |^2}{( \langle y,y \rangle )^2} \langle y,y \rangle + \langle z,z \rangle \\ & \geqslant &  \frac{| \langle x,y \rangle |^2}{\langle y,y \rangle}
\end{eqnarray}
which proves the Theorem.

Proof (2)
If $ | \langle x,y \rangle | = 0$ then it’s trivial. Let $| \langle x,y \rangle | \neq  0$ and let $ \lambda \in \mathbb R$. Then
\begin{eqnarray} 0 & \leqslant & \langle x + \lambda \langle x,y \rangle y ,  x + \lambda \langle x,y \rangle y \rangle \\ &=& | \langle x,y \rangle |^2 \langle y,y \rangle \lambda^2 + 2 | \langle x,y \rangle |^2 \lambda + \langle x,x \rangle .
\end{eqnarray}
Because all the coefficients are real, we have the discriminant $$ D/4 = | \langle x,y \rangle |^4 – | \langle x,y \rangle |^2 \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle \leqslant 0 $$ which proves the Theorem.

Proof (3)
Let $\alpha \in \mathbb C$. Then
\begin{eqnarray}
0 & \leqslant & \langle x+ \alpha y , x + \alpha y \rangle \\ &=& \langle x,x \rangle + \overline{\alpha} \langle x,y \rangle + \alpha \langle y,x \rangle + | \alpha |^2 \langle y,y \rangle \\ &=& \begin{bmatrix} 1 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  \langle x,x \rangle & \langle x,y \rangle \\  \langle y,x \rangle & \langle y,y \rangle \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  1\\ \overline{\alpha} \end{bmatrix} \end{eqnarray}
Define $$ A = \begin{bmatrix}  \langle x,x \rangle & \langle x,y \rangle \\  \langle y,x \rangle & \langle y,y \rangle \end{bmatrix} $$
 
then $A$ is Hermitian. If $z = [ \beta \;\;\;\; \overline{\alpha}]^T $ for $ \beta \neq 0$, $\overline{z}^T A z \geqslant 0 $ by considering $ z / \beta = [1 \;\;\;\; \overline{\alpha} / \beta ]^T $. If $ \beta = 0$, $\overline{z}^T A z = | \alpha |^2 \langle y,y \rangle \geqslant 0$. Thus $A$ is positive semidefinite, so has non-negative determinant $$ 0 \leqslant \det A = \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle – | \langle x,y \rangle |^2 $$
 
which proves the Theorem.


References.
[1] http://ckrao.wordpress.com/2011/02/18/two-interesting-proofs-of-the-cauchy-schwarz-inequality-complex-case

 

Lang Lang

 

이 분도 빼 놓을 수 없겠군요.

아마 이 분을 처음 알게 된 건 고등학교 때 받아보던 잡지 ‘객석’에서 였을 겁니다.

저를 결국 연주 DVD 까지 지르게 만들었던.. 고등학교 2학년 때 학교에 이걸 가져가서 빈 음악실에서 틀어놓고 클래식 좋아하던 친구 C군과 낄낄대던 기억이 나네요…ㅋㅋ

 

글렌굴드의 모차르트 – Gould plays Mozart.

 

앞의 포스팅을 하고 보니 저의 유년기를 함께 했던 굴드도 빼 놓을 수 없겠군요..

굴드를 처음 알게 된 것은 중2 특별활동 시간이었나요. 자기 취미에 맞게 수업 대신에 밖에 놀러 다니는 제도였었는데 저는 음악감상반이었더랬죠. 대구 시내의 하이마트라는 오래된 음악감상실이 있었는데, 당시 음악 선생님이 거기서 굴드를 소개해 주셨었죠. 여러가지 이야기들을 재미있게 들었던 기억이 나네요. 그렇게 아침에 음악감상하고 집에 와서 티비를 틀면 어김없이 박찬호가 삼진을 잡고 있고..

바하 원 탑이기도 하지만 꽤나 충격적인 모차르트 해석으로 유명하죠.

들어보시면 아시겠지만 마치 바하 연주처럼 왼손과 오른손을 차별하지 않습니다..

 

Mikhail Pletnev Plays Chopin Scherzo

 

쇼팽 스케르쵸 연주 중에 개인적으로 가장 마음에 드는 연주를 하는 피아니스트.

고등학교 시절, 이 분 발견하고 너무 좋아서 날뛰었던 기억이 나네요.

이번에 한국 오셨길래 생각나서 포스팅 해 봅니다.

아 역시 몇년 만에 들어도 감동이네요 물론 제가 가지고 있는 Pletnev 앨범보다는 못하지만.. 

 

[M1 Seminar] Week 6,7 : A Global Existence Theorem to the Linear Symmetric Hyperbolic Systems

This week, we prove the global existence theorem to the linear symmetric hyperbolic system by using the standard energy inequality.

M1_Semi_Week6-7

semi62C7 by .