About Leun Kim

I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.

교토대학 대학원 수학과 면접후기 [일본 대학원]

교토대학 수리해석연구소 KURIMS

제 메일함은 블로그 덕분에 일본대학원 유학에 관한 문의메일로 늘상 붐빕니다만, 이번에 다음달 교토대학 대학원 수학과에 수험한다는 분의 메일에 답장을 하고 있으려니, 작년 이맘 때 교토대학에서의 패배가 다시금 떠오르는군요. 교토대학 수학과 문의메일은 처음이었기에..

필기시험의 기하문제였나요, 사상도(写像度)라는 용어도 문제에서 처음 보았지요. 필기시험 끝나고 수험자들끼리 대화를 나누었는데, 수험자들 모두 그 용어는 난생 처음 듣는 다는 반응들이었지요(개 중에는 Cambridge 대학 트리니티컬리지 무려 석사출신도 있었습니다, 나중에 보니 결국 이 분이 합격했더군요). 그렇게 수험자들끼리 이런저런 얘기를 나누고.. 대만에서 오신 어떤 분은 대기실에 버려져 있는 프렐리히 주워서 보고 있고..

뭐 그렇게 어느새 면접장에 들어가니, 후덜덜한 교수분들이 저마다의 포스를 풍기며 앉아 계셨지요. 면접에서 제가 무엇을 했는지 딱히 기억이 나지 않는군요. 다만 어떤 교수의 딱 한마디가 아직도 생생하게 들립니다. 제가 칠판에 장황하게 부등식을 전개해 나가고 있는 와중에 바로 전 부등식을 지적하면서 들려온 한 마디, “We lost too much.”. 면접 당시 이 말이 너무 가슴에 박혀서 저는 항상 매사에 너무 많이 잃어버리지 않도록 노력하고 있습니다…

 

오사카대학 이학연구과 휴게실의 ‘whiteboarder’

음료수 뽑아 먹으러 무심코 이학연구과 3층 휴게실에 들렀는데…

뭔가 평소와 조금 다른 기운을 느꼈지요.

 

 

 

 

 

다음 작품 기대할게요..

 

[M1 Seminar II] Week 8 : Lorentz Invariance of the Wave Equations

Now we will introduce some lemmas for the proof of the global existence theorem for the nonlinear wave equations with quadratic nonlinearities. The exsistence theorem which was proven before gives $n >5$ for the quadratic nonlinearities. But in fact this is not optimal. The theorem which will be introduced in the next seminars shows that $n > 3$ is sufficient for this case. To prove this, we have to apply some lemmas using Lorentz group operators in the Minkowski space.

M1_Semi2_Week8

 

[M1 Seminar II] Week 7 : A Global Existence Theorem for Nonlinear Wave Equations

We consider the following initial value problem
\[ y_{tt} – \Delta y = f(Dy,\nabla Dy)\;\;\;\;\text{with}\;\;\;\; y(t=0) = y_0,\; y_t (t=0) = y_1 \tag{P} \] with $f \in C^\infty ( \Bbb R^{(n+1)^2}, \Bbb R)$, $\exists \alpha \in \Bbb N$ such that $f(u, \nabla u) = O((|u| + |\nabla u|)^{\alpha+1} )$ as $ |u| + |\nabla u| \to 0$ where $u:=Dy$ is the corresponding solution of the quasi-linear symmetric hyperbolic system with $u_0 = (y_1, \nabla y_0)$. With these assumptions the following theorem holds.

(Theorem) Let $\frac{1}{\alpha} \left( 1 + \frac{1}{\alpha} \right) < \frac{n-1}{2}$. Then there exists $s_0 > 1 + n/2$ and $\delta>0$ such that the following holds:
If $u_0 \in W^{s,2} \cap W^{s,p}$ with $ s \geqslant s_0$, $p = \frac{2 \alpha+2}{2 \alpha +1}, \; \| u_0 \|_{s,2} + \| u_0 \|_{s,p} < \delta$ then there exists a unique solution $y$ of the problem (P) with $$ u \in C^0([0,\infty), W^{s,2}) \cap C^1 ([0,\infty) , W^{s-1,2}).$$ Moreover $ \| u(t) \|_\infty + \| u(t) \|_{2 \alpha +2} = O \left(t^{-\frac{n-1}{2} \frac{\alpha}{\alpha+1}} \right),\; \| u(t) \|_{s,2} = O(1)$ as $t \to \infty$.

Note that this existence theorem gives the relation between the nonlinearities $\alpha$ and the space dimension $n$: ($\alpha = 1, n \geqslant 6$), ($\alpha = 2, n \geqslant 3$), ($\alpha \geqslant 3, n \geqslant 2$).

Here the quadratic nonlinearities require $n$ to be at least 6. But in fact, this is not optimal. The optimal condition here being necessary is $n \geqslant 4$ for quadratic nonlinearities. This will be treated in the next seminars.

M1_Semi2_Week7

 

새 베개 구입 !

거의 평면화 되어버린 저의 베개..
이건 뭐 베나 마나한..
그래서 큰 맘 먹고 마트에서 베개를 질렀습니다!
 
 
 

허.. 이런 신세계가..!
안그래도 잠이 많은데, 더 잠만보가 될 듯한 스멜이..OTL

 

오사카 날씨 – 이곳은 따뜻하다?

오사카 날씨

 

서울 날씨

요 몇일 새 추워졌다고 느끼고 있었는데, 서울에 비하면 이건 추운 것도 아니군요.

벌써 영하권이라니요ㅎㄷㄷ

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그래서 좀 찾아 봤더니 여기는 영하라는 개념이 없는 것 같군요.

http://www.kaiteki-travel.com/dress_osaka.php

하지만 눈은 몇 번 왔습니다!

 

이타미 공항 (伊丹空港) – 연말의 이타미 공항 전망대

연말인데 집에 혼자 있기도 적적해서 집 근처의 이타미 공항(오사카 국내선 전용 공항)에 다녀왔습니다.
이타미 공항은 옥상 전망대가 있어서 비행기들의 모습들을 구경하기 좋기로 유명합니다.

年末なのに家で一人で過ごすには少し寂しくて家の近くにある伊丹空港に行って来ました。
伊丹空港は展望台で有名なんです。

 

연말이라 그런지 비행기도 상당히 많고 사람들도 붐비는군요.
年末ですので飛行機も人もたくさんありますね。

 

 

어느새 도착한 비행기 두 대.
いつの間にか到着した飛行機2機。

 

 

 

가지런히 주차되어 있는 자동차 3대의 모습.
きちんと駐車されている自動車

 

 

전망대의 모습입니다.
展望台です。

갑자기 날씨가 추워져서 그런지 사람들이 별로 없네요.
急に寒くなって人があまりいないですね。

 

 

공항 전망대가 꽤나 길어서 이곳저곳 가 봅니다.
空港の展望台がかなり長くてあっちこっち行って見ます。

 

 

왼쪽에서도 한 번 찍어보고.
左側からも一度撮ってみます。

 

 

추운 날씨에 자전거로 달려온 보람이 톡톡히 있었습니다.
寒い日自転車で来たがいがあります。

공항 전망대 꽤나 만족.
空港展望台かなり満足。

 

 

이제 돌아갑니다. 너무 춥네요.
帰ります。すごく寒いですね。

 

 

자전거가 주차되어 있는 주차장으로 건너가면서 마지막 샷.
自転車駐車場へ渡りながら最後のシャット。

연말연시 공항만큼은 더욱 북적이네요.
年末年始
空港はもっと賑やかですね。

그럼 여러분 모두 Happy New Year!
皆さんHappy New Year!

 

오사카 미노시 동네 산책 1 (大阪府箕面市)

날씨가 갑자기 따뜻해져서 흑마 (제 자전거 애칭)를 타고 오사카 미노시 동네 산책 다녀왔습니다. 제가 살고 있는 곳은 오사카의 미노라는 마을인데, 굉장히 조용하고 차분하며 한적한 마을입니다. 그 이유는 아래에서 보다시피 오사카부 내에 있긴 하지만 거의 끝자락에 위치하고 있기 때문입니다.

天気が暖かくなって黒馬 (僕の自転車の名前)に乗って町を散歩してみました。僕が住んでいる所は箕面という町ですが、とても静かな町です。その理由は町が大阪府の

 

http://www.meik.jp/2rosenzu/02_osakakoiki-rosenzu.html

먼저 제가 만화책을 자주 대출하러 가는 미노시립도서관의 모습입니다.
まず僕が漫画をよく貸し出しするに行く箕面市立図書館です。

 

 

 

 

 

 

어느 지역이던 도서관이 바로 집 옆에 있으면 좋은 점이 상당히 많은 것 같습니다.
図書館が家と近くていいところがすごく多いです。

 

 

휴일이라 도서관 앞 운동장에서 아이들이 놀고 있네요.
休日ですので図書館前の運動場で子供たちが遊んでいますね。

 

 

미노시립도서관 앞 운동장
箕面市立図書館前の運動場

 

 

제가 자주 담배를 사러 가는 담배가게의 모습입니다.
僕がよくたばこを買うたばこ屋ですね。

 

 

 덤으로 라이터까지 받았습니다. 저번에는 샘플 담배 한갑도 주시더군요.
サービスでライターもらいました。前にはサンプルたばこももらったことがあります。

 

 

 연초에 자주 들락날락 거렸던 미노시청의 모습입니다.
年初によく訪問した箕面市役所です。

시청도 바로 코앞에 있어서 정말 편했습니다.
市役所が近くて本当に便利でした。

 

 

 

 

여기는 애용하고 있는 집 주변에 있는 마트 3곳 중 하나네요.
ここは僕がよく行く商店ですね。

규모는 대형은 아니고 중형 정도 됩니다.
規模は大型ではなく中型ぐらいです。

 

 

그냥 돌아가긴 아쉬워 더 멀리 가 보았습니다.
そのまま帰るには少し惜しくてもっと遠く行って見ました。

 

 

 타카라즈카까지 가 보려고 했는데 길도 잘 모르고 해서 이 쯤에서 다시 내려갑니다.
塚まで行ってみたかったですが、道もよく知らなくてここから帰ります。

 

 

 그러다 출출해져서 丼이라고 적힌 음식점에 들어갔습니다.
お腹が空いて近所のある丼屋に入りました。

 

 

 카츠동을 시켜 먹었습니다. 역시 맛은 굿!
カツ丼食べました。やっぱりうまかったです。

 

 

 경찰차의 모습도 보이고.
警察車も見えますね。

 

 

 뭔가 옛날 가옥같은 집도 있고.
何か古い家のようですね。

 

 

 늘상 보는 풍경.
毎日見える風景。

 

 

광활한 평야네요.
広々とした平野ですね。

 

 

아기자기한 집들.
きれいな家。

 

 

마을에 있는 꽤 큰 호수의 모습이군요.
町にあるかなり大きい湖ですね。

 

 

 마을의 유일한 성당입니다.
町に唯一つあるカトリック教会です。

 

 

 

 

대형 드럭스토어도 보이네요.
大型なドラッグストアも見えます。

 

 

 마지막으로 등하교 때 세 번은 꼭 지나야 하는 전차 건널목의 모습.
最後は学校に行くとき必ず3回渡らなければならない踏み切りです。

 

풍선 타워 디펜스 멀티플레이 (Bloons Tower Defence Battle)

예전부터 꽤 오랫동안 즐기고 있는 게임 Bloons Tower Defence(일명, 풍선 터뜨리기) 시리즈의 멀티플레이판. 최근에 즐기고 있는데 역시 재미있다. 다만, 대전할 상대의 실력을 선택할 수 없다는 것이 단점.. 그래서 아래와 같은 상황이..ㅠㅠ


대전 화면 (오른쪽이 나, 왼쪽이 상대편)

Spike Factory (렉을 유발) 좀 짓지 마세요! ㅠㅠ

게임은 아래 링크에서 플레이 하실 수 있습니다.

http://ninjakiwi.com/Korean/Games/Tower-Defense/Bloons-TD-Battles.html

 

꿈에서 일본 귀신 만난 썰

요즘 귀신의 존재를 믿게 되었다. 지금껏 살아 오면서 귀신의 존재는 믿지 않았다. 왜냐하면, 한 번도 귀신을 보았거나 경험했던 적이 없었기 때문이다(가위 눌린 적은 딱 1번 있다). 그렇다고 존재를 강하게 부정했던 것은 아니다. 이 쯤에서 내가 귀신의 존재를 믿게 된 계기를 글로 남긴다.

음… 이 곳에 온 지 3개월 째였나, 어느날 꿈에서 귀신을 만났다. 머리가 긴 여자 귀신이었는데, 얼굴은 볼 수 없었다. 꿈에서 나와 그 귀신은 분명히 내 자취방에 나와 함께 있었고, 그 귀신은 앉아서 포커 카드를 만지고 있었다. 그래서 내가 다가가서 툭툭 친 것 같은데(혹은 슬쩍 뒤에서 본 것 같은데), 갑자기 미친듯한 속도(눈에 안 보일 정도)로 맨 앞 카드 한 장을 맨 뒤로 옮기는 작업을 반복하는 거다. 그 순간 너무 놀라서 잠에서 깨 버렸다. 그 당시에는

‘뭐 이딴 꿈이 다 있지???’

라고 생각하고, 왠지 다시 잠을 자면 또 나타날 것 같아 학교를 가 버렸다. 그 후 지금으로부터 약 한 달쯤 전이었나, 그녀를 또 꿈에서 만났다. 어떻게 동일인물인 줄 아냐고? 글쎄다.. 설명하기 어렵지만 일단 느낌상이라고 해 두자. 장소는 물론 내 자취방이었고, 그녀는 또 쪼그려 앉아서 포커 카드를 만지고 있었다. 그리고 난 뒤에서 그 모습을 지켜보고 있었다.

이번에는 그녀의 얼굴을 보았다. 내가 어떤 행동을 했는지는 잘 기억이 나지 않지만, 그녀가 뒤로 돌아보고는 나를 향해 씨익 웃었다. 그런데, 입이 정상 사람들보다는 조금 더 양쪽 위로 째 져 있었다. 그 순간 너무 놀라서 잠에서 깼다. 그리고 나서 얼굴을 기억하려 해 보았지만 도통 기억이 나지 않았다. 단지 머리 길이와 체격은 이전 꿈의 그녀와 같았다.

몇 일 전에 또 꿈에서 그녀를 만났다. 꿈에서의 장소는 물론 내 자취방으로 기억이 나는데, 다른 것들은 하나도 기억나지 않는다(일어나서 바로 적어둘 걸..OTL). 그런데 그녀를 만났다는 것은 어떻게 기억하냐고? 그건 나도 모른다. 어쨋든 그녀가 꿈에서 내 자취방에 함께 있었다는 것은 확실하다(아마 내 매트리스 위에 같이 앉아 있었던 것 같다).

지금 이 글을 쓰고 있는데, 갑자기 가만히 있던 시계가 쓰러졌다. 뭐 이건 우연의 일치처럼 보이지만..(순간 진짜 깜짝 놀랐다..)

 

 

문득 오늘, 그러니까 어제 저녁 자전거로 마트 갔다가 돌아오면서 한 생각인데, 이 공동 주택에서 유독 이 방이 월세가 꽤 저렴하다. 뭐 물론 입주할 때 여러가지 이유로 방 마다 가격이 다르긴 했지만(평수나 구조는 완전히 동일하다), 유독 싸서 ‘떙 잡았다’ 하면서 계약 했다(당시 다른 방들보다 약 1만엔 정도 저렴, 계약할 때 담당자에게도 가격에 대해서 물어보았지만 ‘가구 훼손, 방 위치’ 뭐 이런것들에 따라서 조금씩 차이가 난다는 말 밖에 못 들었었다).

그리고 물론 이것이 자연스럽게 그녀가 자꾸만 내 자취방에 나타나는 꿈 이야기와 연관지어졌다(이건 너무 무리한 연결짓기인가..).

그런데 생각해 보니 아직 한 번도 그녀가 말을 하거나, 내가 말을 걸어본 적이 없다.

내가 변태인 것일 수도 있지만.. 나는 사실 지금 그 귀신과 친구가 되고 싶다. 그런데 아마 어려울 것 같다. 왜냐하면 잠 잘 때 마다 그녀가 나타나는 것도 아니고(물론 현실에선 전혀 본 적 없다), 만약 그녀를 만났다 하더라도 내가 꿈에서 말을 할지를 조절할 수가 없다. 자기 전에 ‘만나면 꼭 말 걸어 봐야지’ 되뇌이며 잠에 들면 되려나…

혹시 비슷한 경험을 해 보신 분이나, 이런 분야에 해박하신 분은 제 경험에 대해서 코멘트 부탁드립니다.

 

교토 아라시야마 점등 행사 (京都:嵐山 花灯路)

교토 아라시야마 점등 축제에 다녀 왔습니다.
京都嵐山花灯路に行って来ました。

아라시야마는 유명한 관광지이지만, 평소에는 밤에 개관하지 않습니다.
有名な観光地ですが、普通は夜間には開館していません。

올해 12월 8일 부터 12월 17일까지 밤에도 입장이 가능합니다.
今年12月8日から17日までは花灯路で夜にも入場できます。


한큐 아라시야마역의 모습입니다.
阪急嵐山駅です。

역시 관광지답게 역부터 고풍스럽게 잘 꾸며 놓았네요.
やっぱり観光地ですので駅も美しいですね。




아라시야마 입니다.
いよいよ嵐山です。

아라시야마는 헤이안 시대에 귀족들의 별장이 많이 모여 있었다고 합니다.
嵐山は平安時代に貴族の

이제 본격적으로 올라가 보겠습니다.
それでは本格的に登ってみます。




한 20여분 쯤 걸어갔더니 서서히 불빛들이 보이기 시작하네요.
20分ぐらい歩いてみたら光が見えますね。

아 그런데, 갑자기 눈이 조금 내리기 시작했습니다.
あ、急に雪が降り始めました。




저 다리(渡月橋)를 건너서부터 메인 코스가 시작됩니다.
渡月橋を渡ってからがメインコースです。




여러 음식점들도 보이고.
いろいろな食堂も見えますね。




몇 분 걸어가자 갑자기 등장한 엄청난 대나무 숲.
少し歩いてみたら急に登場した本当に大きい竹林。

대나무 밑에서 조명을 쏘아 대고 있습니다.
竹の下に照明があるようです。

정말 장관이었습니다.
本当に見事な竹林でした。

사람들도 사진 찍느라 정신 없네요.
人たちも写真を撮るため忙しいですね。




이제 이 대나무 숲 길을 쭈욱 따라 들어가 봅니다.
これからこの竹林道をずっと歩いてみます。

사진의 Blur 효과는 임의로 준 것이 아니라 눈 때문에 렌즈 일부분이 젖어 버렸기 때문입니다.写真のBlur効果は雪のせいでレンズの一部分がぬれてしまいましたから。




중간 중간에 많은 명소들이 있었습니다(예를 들어, 法輪寺, 天龍寺, 野宮神社, 時雨殿, 大河内山荘庭園, 常寂光寺, 二尊院 등 너무나도 많은 고적이 있습니다).
いろいろなところがありました。たとえば
法輪寺, 天龍寺, 野宮神社, 時雨殿, 大河内山荘庭園, 常寂光寺, 二尊院などの

하지만 입장료가 각각 붙어 있기 때문에, 그 중 한 곳만 들어가 보았습니다.
しかしそれぞれ入場料があって、この中で
常寂光寺だけ入ってみました。

제가 들어가 본 절은 사진의 常寂光寺입니다.




왼 쪽에 보이는 것은 매표소 입니다.
左に見えるのは

입장료는 무려 400엔!
入場料は400円です。




절 내부의 모습입니다.
お寺の中です。




常寂光寺1




常寂光寺 2




바깥에는 사람들이 엄청 많았는데, 여기는 굉장히 고요합니다.
そとには人が本当にたくさんいますが、ここはすごく静かです。

그 이유는 보시다시피 저 멀리 오른쪽에 보이는 매표소 덕분입니다.
理由はあそこに見えるチケット売り場のおかげです。




하늘 색이 저런 것은 저 산에서 하늘을 향해 조명을 쏘아 대고 있기 때문입니다.
あの山から空に向けてライトを当てています。




그렇게 울창한 숲을 걷고 또 걷습니다.
ずっと林を歩いています。




바람에 꽤 불어서 나뭇잎들이 바람에 휘날리는 모습이 꽤 멋졌습니다.
風に揺れる木の葉がかなり素敵でした。

캠코더를 들고 가지 않았던 것이 아쉽네요.
残念ながらCX550は持っていなかったです。




역시 사진 중간 중간에 보이는 Blur효과는 눈이 계속해서 내렸기 때문에..
写真の中に見えるBlur効果は雪がずっと降りましたから。




한 바퀴 돌고 나서, 다시 돌아가는 중입니다.
へ戻っています。

점등시간이 8시 30분까지이기 때문에, 이제는 별로 사람들이 없네요.
点灯時間が8時30分までですので、今は人が別にいないですね。

아마 8시 10분경의 사진일 겁니다.
これは8時ごろの写真です。




8시 30분이 되는 순간 모든 불이 꺼진다는 안내 방송을 듣고, 사진을 마구 찍어대기 시작했습니다.
8時30分になると完全

물론 고요한 숲 속에서 명상을 즐기는 것도 좋지만, 저는 소인배라 사진이라도 남겨야 겠다는 생각이 앞서더군요.
もちろん静かな林で




대나무 숲.
竹林




이 곳이 spot 입니다.
ここがいわゆるSpotです。

정면에서 내려다 보면 좌우로 엄청난 대나무숲이 펼쳐져 있습니다.
正面から見たら左右でたくさんの竹が並んでいます。

많은 분들이 이 곳에서 구경하고 계십니다.
人もここが一番多かったです。




저는 물론 조금 우측에 자리잡고 사진을 찍었습니다.
僕はもちろん少し右側から写真を撮りました。




내려가다가 파란색 조명이 켜져 있는 대나무 숲도 한 번 찍어주고.
Blueライトの竹も一度撮ります。




중간 중간에, 야식을 파는 상점들이 있습니다.
途中にこんな商店もたくさんあります。




조그마한 기념품 상점들도 줄지어 있습니다.
お土産店もたくさんありました。




여기는 아까 보았던 음식점이네요.
ここはすこし前に見た食堂ですね。




배가 고팠지만, 딱 봐도 비싸 보여서 그냥 돌아갑니다.
お腹がすいていましたが価格が高く見えてそのまま帰ります。




天龍寺 입구의 모습입니다.
天龍寺の入り口です。

天龍寺는 행사 기간 중에도 야간 개장을 하지 않습니다.
天龍寺はこの行事期間中にも夜間には入ることができません。




이제 본격적은 크리스마스 시즌이어서 크리스마스 트리도 보이네요.
クリスマスツリーもありますね。




여행객을 위한 숙소들인 것 같습니다.
ここは観光客のための宿所なようです。




한큐 아라시야마역의 모습입니다.
阪急嵐山駅です。

꽤 늦은 시간이 되어서 돌아갑니다.
かなり遅い時間になって
帰ります。

 

이메일 주소에 @대신 (at)을 쓰는 이유?

http://www.techtricksworld.com/2011/12/make-your-inbox-spam-free.html

 

저는 그 이유가 지금껏 “@”이라는 기호가 윈도우 등의 OS 차이나, 같은 OS라도 국가마다 문자열 버전이 달라서 그런 줄로 생각했었는데, 스팸메일 방지 때문인 것 같네요(물론 저의 추측).

 

gmail주소를 웹 상(블로그 프로필)에 공개하자 마자 몇 일 안 되어서 1년간 비어 있던 편지함에 스팸 메일이 왔습니다. 그래서 황급히 @을 (at)으로 바꾸어 주었습니다. 컴퓨터 쪽은 잘 모르지만 아마 @이라는 기호를 탐색하는 봇이 @을 탐색하여 스팸 메일을 보내는 경우가 많은 것 같습니다.

 

스팸 메일 폭발로 인해 매일 50여개의 스팸 메일을 손수 지워주고 있는 네이버 메일과 같은 꼴을 당하지 않기 위해서 항상 조심 해야겠습니다(참고로 차단한 주소가 1000개가 되어서 더이상 스팸을 차단할 수가 없는 상태..OTL).

 

 
그래서 요즘에는 아예 메일 주소를 그림 파일로 올려버리거나, id(at)servername(dot)com 형식으로 사용하고 있습니다. 후자의 경우도 스팸 메일은 거의 오지 않는 것 같군요.

 

1옥타브를 왜 하필 12음계로 구분했을까?

여러분은 음악을 접하면서 왜 하필 한 옥타브(가령 C~C)를 12개의 음(C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B)으로 나누었는지 궁금해 하셔 본 적이 있나요? 한 옥타브를 5개의 음으로 나누거나, 20개의 음으로 나눌 수도 있을텐데 왜 하필 12음계로 나누었을까요?

그 이유는 사실 상당히 간단합니다. 이 글을 읽고 나시면 그 이유를 명확히 이해하실 거라 믿어 의심치 않습니다 (참고로 아래에 소개되는 주파수의 음들은 현재의 12음계에 존재하지 않는 음들입니다).

음의 pitch가 주파수에 의해 결정된다는 사실은 너무나 유명하죠. 그러면 한 옥타브 차이가 나는 음 두 개의 주파수 차이는 어느정도일까요? 정확히 1:2 입니다. 예를 들어, 아무런 주파수 하나($f_0$ 라고 하겠습니다)를 가져다 주면, 정확히 2배가 되는 $2f_0$의 음을 생각할 수 있습니다. 즉, 어떤 주파수의 2배가 되는 주파수의 음간의 간격을 옥타브라고 합니다. 아래의 간단한 Example을 들어 보시죠. 이제부터 Hz는 생략하겠습니다. 그리고 $f_i$과 $f_j$를 동시에 연주할 경우 $f_i \oplus f_j$라고 표기하겠습니다.

$f_0 = 300$
$2f_0 = 600$
$f_0$ $\oplus$ $2f_0$


어떠신지요? 두 음을 동시에 들으시니 별로 거부감이 없으시죠? 즉 수학적으로 가장 ‘간단한’ 정수비 1:2로 이루어진 화음을 들었을 때 우리는 마음의 안정을 찾게 됩니다. 즉, 주파수 차이가 2배 나는 음 두개는 ‘거의’ 같습니다. 그렇다면 여기서 하나의 의문이 있겠죠. ‘그 다음으로 간단한 정수비인 1:3은 어떨까?’ 아래의 Example을 들어 보시죠.

$f_0 = 300$
$3f_0 = 900$
$f_0 \oplus 3f_0$


어떤가요? 1:2보다는 아니지만 그래도 어느정도 들어줄 만 합니다(그렇지 않으신 분들도 일단은 인정해 주시기 바랍니다). 그런데 $f_0$를 3배 하니까 주파수가 너무 커져 버렸습니다. 즉 $f_0$에 비해 음높이가 너무 높아져 버렸네요. 우리는 여러가지 이유로 새롭게 생성되는 음들이 $f_0$와 $2f_0$ 사이에 있었으면 좋겠습니다. 그렇다면 이 높은 $3f_0$를 대신할 만한 후보가 있나요? 네, 있습니다. 바로 전에 ‘거의’ 같은 음으로 소개한 1:2의 비율을 가진 음입니다. 그렇다면 후보로 $3f_0 / 2 = 1.5 f_0$ 라는 음을 생각할 수 있겠죠. 이제 $f_0$와 $1.5 f_0$를 같이 연주해 보겠습니다.

$f_0 = 300$
$1.5f_0 = 450$
$f_0 \oplus 1.5f_0$


네, 확실히 듣기 편해졌네요. 그렇습니다. 이렇게 얻어진 화음은 그 옛날부터 ‘완전 5도’라고 불려지고 있는 화음입니다. 하지만 지금 여러분이 듣고 계신 이 화음이 ‘진짜‘ 완전 5도 화음입니다. 그렇다면 여러분들이 접하고 계신 음악들에 쓰이는 완전 5도 화음(예를 들어 도와 솔)은 ‘가짜‘라는 말인가요? 네, 가짜입니다. 여러분들이 듣고 계시는 음악들 모두 이 완전 5도 화음의 주파수비가 1:1.5가 되지 않습니다. ‘그거야 물론 악기나 프로그램의 오차 때문이 아닌가요?’ 라고 하신다면, 아닙니다. 애초에 악기를 제조할 때나 음악을 만들 때 부터 도와 솔의 주파수 차이를 1:1.5를 맞추려고 노력하지 않습니다. 대신 1.5보다 약간 작은 값(1.498)을 맞추려고 노력합니다. 그 이유는 글을 다 읽으시면 알게 됩니다.

자, 지금까지 우리는 임의의 주파수 $f_0$로부터 $2f_0$와 $1.5f_0$를 얻었습니다. 현재 이 3음 모두 $[f_0, 2f_0]$의 인터벌 안에 있습니다. 이제 이 인터벌 안에서 더 많은 음들을 찾고 싶습니다. 이제 생각할 수 있는 음은 새롭게 얻어진 $1.5f_0$와 1:3의 비율을 갖는 음, 즉 $4.5f_0$ 입니다. 하지만 이 $4.5f_0$ 역시 너무나 높은 음이군요. 따라서 아까처럼 $4.5f_0$의 절반의 주파수를 가지는 음 $2.25f_0$를 생각합시다. 하지만 이 음 역시 $[f_0, 2f_0]$안에 들어가지 않습니다. 따라서 또 이 음의 절반의 주파수를 가지는 음 $1.125f_0$를 생각합니다. 다행히 이번에는 인터벌 안에 들어 있군요. 이제 $1.5f_0$로부터 얻어진 $1.125f_0$를 들어 보시죠.

$1.5f_0 = 450$
$1.5f_0 * 3 / 2^2 = 337.5$
$1.5f_0 \oplus 1.125f_0$


그렇습니다. 이렇게 얻어진 음$1.125f_0$는 또 다시 $1.5f_0$의 완전5도 화음이 됩니다. 눈썰미가 빠른 분들은 눈치채셨겠지만, $1.125 f_0$는 $(1.5)^2 f_0 /2$로도 쓸 수 있습니다. 네, 다음으로는 이 새로운 음$1.125f_0$의 완전 5도를 또 찾아 보아야 겠죠. 즉, “일단 3배 하고 나서 우리의 인터벌 안에 들어올 때 까지 (1/2)배를 하는 작업“을 수행합니다. 그렇게 하면 우리는 $1.125 f_0 * 3 /2 = (1.5)^3 f_0 /2 = 1.6875f_0$라는 음을 얻을 수 있습니다. 이렇게 얻어진 음은 물론 $1.125f_0$와 완전 5도의 관계입니다. 이제 이 작업을 계속해서 반복하고 싶습니다.

여기서 잠깐, 지금까지 얻은 음들을 정리해 봅시다. 먼저 임의의 $f_0$로부터 출발하여, $2f_0$를 생각했고, $f_0$의 완전 5도 $1.5f_0$를 얻었습니다. 편의상 $1.5 f_0 = f_1$이라 하겠습니다. 또 이 $f_1$으로부터 완전5도인 $1.125f_0$를 얻었습니다. 편의상 $1.125 f_0 = f_2$라 하겠습니다. 또 이로부터 $1.6875f_0 =: f_3$까지 얻었습니다.

이 작업을 계속해서 반복하고 싶긴 한데, 언젠간 끝났으면 좋겠습니다. 즉, 이 작업을 유한번 하다 보면 언젠가는 그제까지 나왔던 음들 중 하나와 중복이 되는 음이 출연 해 주었으면 좋겠습니다(대수적 상식이 있으신 분이라면 Cyclic Group을 떠올리시면 됩니다). 일단은 이 작업을 15번 정도 반복해 본 결과를 보시겠습니다. 물론 $f_{i+1}$은 $f_i$와 완전 5도 관계입니다.

Table 1
$f_0 = 300$
$f_1 = 450$
$f_1 = (1.5)f_0$
$f_2 = 337.5$
$f_2 = \frac{(1.5)^2 f_0}{2}$
$f_3 = 506.25$
$f_3 = \frac{(1.5)^3 f_0}{2}$
$f_4 = 379.688$
$f_4 = \frac{(1.5)^4 f_0}{2^2}$
$f_5 = 569.531$
$f_5 = \frac{(1.5)^5 f_0}{2^2}$
$f_6 = 427.148$
$f_6 = \frac{(1.5)^6 f_0}{2^3}$
$f_7 = 320.361$
$f_7 = \frac{(1.5)^7 f_0}{2^4}$
$f_8 = 480.542$
$f_8 = \frac{(1.5)^8 f_0}{2^4}$
$f_9 = 360.406$
$f_9 = \frac{(1.5)^9 f_0}{2^5}$
$f_{10} = 540.61$
$f_{10}=\frac{(1.5)^{10} f_0}{2^5}$
$f_{11} = 405.457$
$f_{11}=\frac{(1.5)^{11} f_0}{2^6}$
$f_{12} = 304.093$
$f_{12} = \frac{(1.5)^{12} f_0}{2^7}$
$f_{13}=456.139$
$f_{13} = \frac{(1.5)^{13} f_0}{2^7}$
$f_{14}=342.105$
$f_{14} = \frac{(1.5)^{14} f_0}{2^8}$
$f_{15}=513.157$
$f_{15}= \frac{(1.5)^{15} f_0}{2^8}$


일단 큰 의미는 없지만, 이 15개의 음들을 주파수가 낮은 음부터 순서대로 재생시켜 보겠습니다.

 
네, 어떻게 들으셨나요? 음과 음 사이의 간격이 우리 귀에 일정하지 않은 것 처럼 들립니다(실제로도 그렇고요). 이것은 당연한 결과입니다. 왜냐하면, 위와 같은 작업을 15번 밖에 시행하지 않았기 때문에, 사이 사이의 음들을 아직 모두 찾지 못했기 때문입니다. 그렇다고 해서 저와 같은 작업을 굉장히 많이 시행한다고 하면, 하나의 스케일에 너무나도 많은 음들이 존재해 버립니다. 그렇다면

‘꽤 많은 음들이 한 스케일에 존재해도 좋아. 그 음들이 유한개라면.’

이라는 생각을 품을 수도 있습니다. 하지만 이것조차 불가능합니다. 불행하게도 우리의 작업은 유한번 시행해서는 절대 끝나지 않습니다. 그 말인 즉슨,

$$ 1.5^n = 2^m $$

을 만족하는 정수해가 (0,0) 이외에 존재하지 않는다는 말입니다. 물론 여기서 $n$은 한 스케일을 구성하는 음들의 수가 되겠습니다. 그렇다고 여기에서 포기할 순 없습니다. 즉, 이제 우리의 전략은 바뀌었습니다.

‘유한 개의 음들($n$)을 얻기 위해 완전5도(1:1.5의 비율)을 어느정도 양보할 수 밖에..’

그렇습니다. 우리는 유한 개의 음들로 하나의 스케일을 구성하기 위해 완전 5도, 즉 주파수 1:1.5의 비율을 포기할 수 밖에 없습니다. 그렇다면 이제부터의 목적은

‘$n$을 어떤 수로 고정했을 때 그나마 완전5도(1:1.5)를 조금이라도 더 유지할 수 있는가?’

로 바뀌게 됩니다. 즉,
$$ p^n = 2^m \;(\text{i.e. } p = p(m) = 2^{m/n}) $$
의 방정식에서 가령 $n = 12$로 고정해 보겠습니다. 그러면, 우리는 다음의 스케일을 얻게 됩니다.

Table 2
$m$
$p(m)$
Frequency[Hz]
0
$2^{0/12} =1.000$
$f_0 = 300$
1
$2^{1/12} \approx 1.059$
$p(1)f_0$
2
$2^{2/12}\approx 1.122$
$p(2)f_0$
3
$2^{3/12}\approx 1.189$
$p(3)f_0$
4
$2^{4/12}\approx 1.260$
$p(4)f_0$
5
$2^{5/12}\approx 1.335$
$p(5)f_0$
6
$2^{6/12}\approx 1.414$
$p(6)f_0$
7
$2^{7/12}\approx 1.498$
$p(7)f_0$
8
$2^{8/12}\approx 1.587$
$p(8)f_0$
9
$2^{9/12}\approx 1.682$
$p(9)f_0$
10
$2^{10/12}\approx 1.782$
$p(10)f_0$
11
$2^{11/12}\approx 1.888$
$p(11)f_0$


이제 위의 표에서 반음을 제외하고 8개의 음($2f_0$까지 포함)을 연속해서 들어봅시다.

 
어떤가요? 여러분이 익히 들어오던 느낌의 스케일이 들리시나요? 네, 그렇습니다. 드디어 우리는 $[f_0, 2f_0]$의 구간을 12개의 음으로 구분했습니다. 그렇다면 잃은 것은 어느정도 될까요? Table 2에서 완전5도(약간의 오차를 가진)의 비율을 살펴봅시다. 가장 간단한 비교로 $m=0$과 $m=7$ 일 때의 $p(m)$의 비를 보면 되겠지요. 즉, 1:1.498 입니다. 뭐 거의 1:1.5에 가깝군요. 꽤나 좋은 수치입니다. 그렇다면 $n=12$가 아니라 다른 경우는 어떻게 될까요? 다양한 $n$에 따라서 정확한 완전 5도(1:1.5)와의 오차를 아래 Table 3 에 계산하였습니다.

Table 3
$n$
Ratio
Error (=|1.5-Ratio|)
2
1.414
0.086
3
1.587
0.087
4
1.414
0.086
5
1.516
0.016
6
1.587
0.087
7
1.486
0.014
8
1.542
0.042
9
1.470
0.030
10
1.516
0.016
11
1.460
0.040
12
1.498
0.002
13
1.532
0.032
14
1.486
0.014
15
1.516
0.016
16
1.477
0.023
17
1.503
0.003
18
1.527
0.027
19
1.494
0.006
20
1.516
0.016
21
1.486
0.014
22
1.506
0.006
23
1.480
0.020
24
1.498
0.002
25
1.516
0.016
26
1.492
0.008
27
1.508
0.008
28
1.523
0.023
29
1.501
0.001
30
1.516
0.016


Table 3에서 알 수 있듯, $n <29$인 모든 경우에서 $n = 12$ 또는 $n = 24$의 Ratio가 1.498로가장 1.5와 가깝습니다($n=24$는 현재 우리가 사용하고 있는 스케일의 반음 사이에 1/4음을 하나씩 추가한 것에 불과합니다). 그 다음 후보로는 $n = 29$가 있겠습니다. $n=12$의 경우보다 오차가 훨씬 작음을 확인할 수 있죠. 즉, 한 옥타브를 12개의 음으로 나눈 것 보다 29개의 음으로 나누면 우리는 조금 더 좋은 완전5도를 얻을 수 있습니다.

동양의 5음 음계(중임무황태 등)의 오차는 Table 3 에서와 같이 0.016으로 그나마 선방한 케이스라고 할 수 있겠네요. 물론 개인적인 생각이지만, n=2,3,4의 경우 오차가 0.086으로 큰 수로 유지되다가, n=5가 되면서 갑자기 오차가 0.016으로 감소하고, 그 이후 다시 현저히 커집니다. 동양에서도 이런 것을 고려한 것일까요?

그 옛날 사람들은 어떻게 이런 사실을 알았을까요? 아마 수많은 시행착오를 거쳤을 거라 생각됩니다. 만약 그 옛날 사람들이 엄청난 청력을 가지고 있었더라면, 한 옥타브를 29개의 음으로 나누었을 지도 모릅니다. 만약 그렇게 되었더라면, 우리는 지금보다 훨씬 더 풍부한 조성과, 화음, 배음을 가지고 다양한 색채의 음악을 듣고 있었을 수도 있습니다.

혹시 모르죠, 미래에는 29음 스케일이나, 혹은 그 이상의 완전 5도의 오차를 줄일 수 있는 더 많은 음들을 사용하게 될지?!

마지막으로 엑셀로 $n=100$까지의 오차를 한 번 그려 보았습니다. 100개의 음 이하로 나누는 경우에는 보시다시피 53개의 음으로 한 옥타브를 나누었을 때 완전 5도와의 오차가 $5.91\times 10^{-5}$로 가장 작음을 알 수 있습니다.

All pitches have been recorded by Sony Sound Forge 7.0

 

편미분 방정식 전공 서적 리뷰 (PDE, Partial Differential Equations Book)

이 쯤에서 그간 읽거나 접했던 PDE 전공서적을 리뷰 해 볼까 합니다. 아직 책을 평가할 수준이 절대로 안 되기 때문에 나름대로의 감상평에 불과합니다.

 

1. F. John. Partial Differential Equations. Springer.

Courant의 제자 F. John이 쓴 책입니다. PDE 입문용으로 적당한 것 같습니다. 초반부는 적은 변수들로부터 시작하여, 후반부에서 Laplace Equation, Hyperbolic Equation, Elliptic Equation, Parabolic Equation들을 다루고 있습니다.  

 

2. Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. AMS.

GSM 시리즈 중 하나인데 굉장히 광범위하게 읽히고 있는 책입니다. 책이 두꺼운 대신에 읽기는 수월한 편입니다. 단지 기호에 있어서, 저는 주로 $D = (\partial_t, \partial_1, \cdots, \partial_n)$ 으로 사용하는 편인데, 여기서는 $D = (\partial_1, \cdots, \partial_n)$으로 사용해서 처음에는 조금 위화감이 있었습니다. 저는 $\nabla = (\partial_1, \cdots, \partial_n)$으로 사용합니다. 한 줄 한 줄 확인해가며 읽지는 않았지만, 대충 어디에 어떤 내용이 있는지는 알고 있어서 현재는 사전처럼 활용하고 있는 책입니다.

 

3. R. Racke. Lectures on Nonlinear Evolution Equations. Vieweg.

R. Leis의 제자 R. Racke의 책입니다. 현재 M1 세미나용으로 활용하고 있습니다. S. Klainerman의 논문들을 조금 더 자세히 설명한 책이라고 보시면 됩니다. 구성은 크게 두 부분으로 되어 있습니다. 앞의 반 정도는 일반적인 Nonlinear Wave Equation의 Global Existence Theorem을 보이기 위한 스텝들을 자세하게 설명하고 있습니다. 그리고 후반부는 이 방법을 그대로 Elasticity Equation, Heat Equation, Thermoelasticity Equation, Schrodinger Equation, Klein-Gordon Equation, Maxwell equation, Plate Equation에 간략히 적용해 적절한 아웃라인을 설명해 주고 있습니다. 파동방정식을 전공하신다면 개인적으로 추천하고픈 책입니다. 다만, 저자가 tedious한 계산들은 실제로 확인해 보지 않고 대충 암산해서 써 놓은 듯한 느낌을 받았습니다. 예를 들어,

\begin{eqnarray*}S_2 & \leqslant &
\sum_{1 \leqslant m \leqslant s-1} c \left( \| A^0 (u^k)^{-1} \|_\infty^2  \left \| \nabla^m \left( \sum_{j=1}^n A^j (u^k) \partial_j u^{k+1} \right) \right \|_2^2 + \| \nabla^m A^0 (u^k)^{-1} \|_2^2 \left \| \sum_{j=1}^n A^j (u^k) \partial_j u^{k+1} \right \|_\infty^2 \right) \nonumber
\\
& \leqslant & c \sum_{1 \leqslant m \leqslant s-1} \left( \sum_{j=1}^n \| \nabla^m ( A^j (u^k) \partial_j u^{k+1} ) \|_2^2 + c(g_2) \| \nabla^m u^k \|_2^2 \sum_{j=1}^n c \| \partial_j u^{k+1} \|_\infty^2 \right)
\\
& \leqslant & c(g_2) \sum_{1 \leqslant m \leqslant s-1} \sum_{j=1}^n \left ( c \| A^j (u^k) \|_\infty^2 \| \nabla^m \partial_j u^{k+1} \|_2^2 + c \| \nabla^m A^j(u^k) \|_2^2 \| \partial_j u^{k+1} \|_\infty^2 + \| \nabla^m u^k \|_2^2 \| \partial_j u^{k+1} \|_\infty^2 \right)
\\
& \leqslant & c(g_2)  \sum_{1 \leqslant m \leqslant s-1} \sum_{j=1}^n \left( \| \nabla^m \partial_j u^{k+1} \|_2^2 + c(g_2) \| \nabla^m u^k \|_2^2 \| \partial_j u^{k+1} \|_\infty^2 + \| \nabla^m u^k \|_2^2 \| \partial_j u^{k+1} \|_\infty^2 \right)
\\
& \leqslant & c(g_2)  \sum_{1 \leqslant m \leqslant s-1} \sum_{j=1}^n ( \| \nabla^m \partial_j u^{k+1} \|_2^2 + \| \nabla^m u^k \|_2^2 \| \partial_j u^{k+1} \|_\infty^2 )
\\
&\leqslant & c(g_2) \left( \sum_{1 \leqslant |\alpha| \leqslant s-1} \| \nabla^{\alpha +1} u^{k+1} \|_2^2 + \left( \sum_{1 \leqslant | \alpha | \leqslant s-1} \| \nabla^{\alpha} u^k \|_2^2 \right) c \kappa_s^2 \|  u^{k+1} \|_{s,2}^2 \right)
\\
& \leqslant & c(g_2) ( \| u^{k+1} \|_{s,2}^2 + c \| u^k \|_{s,2}^2 \| u^{k+1} \|_{s,2}^2 )
\\
& \leqslant & c(g_2) R^2(1+R^2).
\end{eqnarray*}

의 계산 정도는 $S_2 \leqslant c(g_2) R^2$의 한 줄로 표현하고 있습니다. 게다가 그 결과도 좀 다르군요. 뭐 이후의 스토리상 크게 영향은 없지만, 저자의 주장보다 $(1+R^2)$이 곱해져 바운드가 약간 커져서 조금 더 귀찮아지긴 합니다.

4. 堤 誉志雄. 偏微分方程式論. 

교토대학의堤 誉志雄 교수가 쓴 책입니다. 4장부터 비선형 슈뢰딩거 방정식의 내용이 주를 이루고 있습니다. 슈뢰딩거 방정식을 전공하고 싶으시면 4장부터 읽는 것을 추천합니다. 모든 일본책이 그렇지만 책 사이즈가 정말 조그맣고 얇지만 속이 알찬 책입니다. 다만 주의해야 할 것은, 이 책도 수식 오류가 좀 있습니다. 연구실의 석사 2년차 선배가 1학년 때 세미나용으로 사용한 책입니다.

 

5. T. Caznave. Semilinear Schrodinger Equations. AMS.

바로 위에서 소개한 堤 誉志雄 교수가 강추하는 책입니다. 그의 책 맨 마지막 문장이 ‘最後に、本書でとりあげた非線形シュレーディンガー方程式について、2002年までの数学的研究成果を解説した文献が最近出版された。非線形シュレーディンガー方程式に興味がある読者は、読んでみることを薦めたい。‘로 끝나면서 이 책을 추천하고 있습니다. 현재 슈뢰딩거 방정식을 전공하는 같은 연구실 동기가 M1 세미나로 매주 강연하고 있는 책이기도 합니다. 이 책도 나름 읽기 어려운가 봅니다. 1학기때에 그 친구가 “부등식 하나가 정말 증명이 안 된다. 그 근원을 알 수 없다”라고 외치면서 세미나를 한 주 쉬어 버렸던 기억이 나네요. 

 

 

6. H. Ringstrom. The Cuachy Problem in General Relativity. EMS.

대략 초반 100페이지 정도는 PDE의 기본적인 내용과 PDE와 연관된 함수해석을 다루고 있습니다. 그 이후 Part II부터 Lorentz geometry를 시작으로 본격적인 이야기가 시작됩니다. 현재 읽고 있는 책 중의 하나입니다.

 

일본 소설 읽기 도전 : 吉田修一(요시다 슈이치) – 横道世之介(요노스케 이야기)

학교 가는 길에 조그만 서점이 있어서 자주 들릅니다. 이번에 산 책은 개인적으로 좋아하는 작가 吉田修一(요시다 슈이치)의 청춘소설 横道世之介(한국어판 제목 : 요노스케 이야기)입니다. 출간 된 지는 꽤 오래된 것 같은데, 출판사에서 11월 신간이라며 광고를 하더군요. 오사카에 온 지 얼마 안 되어 책방에서 해변의 카프카 중고책을 구입해 읽으려고 시도했다가 몇 장 못 읽고 포기했던 적이 있습니다. (사실, 한국어 버전을 이미 옛날에 읽어 버려서 독욕구도 부족했던 것도 있습니다)

하지만 이번에는 꽤 페이스가 좋습니다. 문장이 간결해서 그런걸까요. 대략 한 페이지에 모르는 단어 비율은 20% 정도 되는 것 같습니다. 읽으면서 모르는 단어들을 정리해 두고 싶은 마음이 굴뚝 같지만, 그러면 소설 몰입도가 낮아져 버려서 그냥 즉석에서 전자사전을 이용해 모르는 단어를 찾아보고 넘겨 버립니다.

하지만 완주할 수 있을 지는 사실 저도 의문입니다.

감상은 완주하고 나서 올리도록 하겠습니다. 언제나 그렇듯 제가 좋아하는 일상 소설입니다. 네이버 서평 중 일부를 아래에 게재하겠습니다.

‘대학 입학을 앞두고 도쿄로 상경한 열여덟 살 요코미치 요노스케. 빈틈투성이에 속편한 규슈 청년, 늘 타이밍을 못 맞추는 어리바리한 그는 처음으로 도시 생활을 하게 된다. 하지만 그 감동적인 순간을 맞이하는 건 주인 없는 옆집에서 울리는 시끄러운 자명종 시계 소리. 공부, 친구, 동아리, 아르바이트, 여자친구 만들기 등 요노스케의 홀로서기가 시작되는데….’

http://book.naver.com/bookdb/book_detail.nhn?bid=6079155

 

[M1 Seminar II] Week 6 : Weighted a priori Estimates for Small Data

For the proof of the global existence theorem of nonlinear wave equations, this a priori estimates is essential as well as the high energy estimates. Also the high energy estimates play an important role in the proof of a priori estimates. For this purpose, we have used $L^p-L^q$ decay estimates for the linear wave equations.

M1_Semi2_Week6

 

[M1 Seminar II] Week 5 : High Energy Estimates

We prove the high energy estimates for the nonlinear wave equation on the nonlinearity $\alpha =1$. In fact, this problem is a special case of the quasi-linear symmetric hyperbolic system with some assumptions. By the help of the previous existence theorem, we can obtain the appropriate interval $[0,T]$ for this estimate. The main strategy is that we approximate $u_0$ by $u_0^k$ in $W^{s,2}$, prove the estimate for $u^k$, and then take the limit to obtain the estimate for $u$ using some inequalities and embeddings.

M1_Semi2_Week5