About Leun Kim

I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.

[오늘의 야식] 일본 맥도날드 데리야끼 버거

てりやきマックバーガー

맥도날드에서 할인행사를 하길래 총 300엔에 구입해 왔습니다!
てりやきマックバーガー라는 건데 맛은 불고기 버거와 흡사.

マクドナルドのイベント価格300円で購入したてりやきマックバーガーです。
味はLotteriaのBulgogiバーガーと似ていますね。

 

[학교생활] 원생상담실은 보물창고 ?!

오늘은 제 메일박스 확인차,
잠시 오사카대학 수학과 사무실 바로 맞은편에 있는,
수학전공 원생상담실(院生相談室)에 들렀습니다.


오사카대학 대학원

대충 이런 작은 방입니다.
대학원생들은 자신의 사서함을 이곳에 가지고 있는데,
보통 급여지급서, 교수로부터 자료수령, 외부메일, 개인서신 등의 서류를 이곳에서 확인하게 됩니다.

그런 목적 외에 또 하나의 목적이 있다면, 여러가지 보급품(?)을 받아가기 위해서입니다.
보급품의 종류에는 상시비치품(연습장, 노트, 볼펜, 지우개, 봉투 등)과,
일시배급품(누군가 버린 수학책, 사무실에서 버린 용품들, 문구류 등) 2종류가 있습니다.






오사카대학 대학원

이 중에서 가장 인기가 많은 것은 역시 책인데,
몇 개월 전에 수십권의 책들이 이 곳에 “자유롭게 가져가시오”라는 문구와 함께 놓여 있었습니다.
저도 그 소식을 듣고 달려갔지만, 이미 인기가 많은 책들은 사라지고 없는 상태..OTL.
결국 위와 같은 아무도 가져가지 않은 책을 몇 개 주워 왔습지요.

물론 이러한 일시배급품은 사전공지 없이 일정기간마다 한 번씩 랜덤으로 놓여져 있습니다.






오사카대학 대학원

오늘 아침에 들렀더니, 또 일시배급품이 다수 놓여져 있네요.

“자유롭게 가져가시오”

이 말은 물론

“너 혼자 다 가져가도 상관은 없어”

라는 뜻도 포함하고 있습니다!

그렇다고 다 가져오지는 않았고,
소소하게 종류별로 한 점씩 집으로 모셔왔습니다.






오사카대학 대학원

크흠 슬슬 담아볼까요?






오사카대학 대학원
시중에서 꽤나 값이 나가는 볼펜들도 보이고..
열심히 쓸어담자(?)







오사카대학 대학원
영차영차






오사카대학 대학원

뭔가 쓸모 있어 보이는(?) 파일들도 다수 보이네요.






오사카대학 대학원

이왕 간 김에 상시비치품인 노트들도 좀 가져 왔습니다.
상시비치품을 가져갈 때에는 아래와 같이 수량과 이름을 적어야 합니다.






오사카대학 대학원






오사카대학 대학원
봉투와 분필, 연습장의 모습.






↓ 그리고 오늘 획득한 물품들.

오사카대학 대학원
오사카대학 대학원
오사카대학 대학원
오사카대학 대학원
오사카대학 대학원
오사카대학 대학원
오사카대학 대학원
오사카대학 대학원
오사카대학 대학원
오사카대학 대학원
오사카대학 대학원
I am happy

 

종합도서관 앞에 레드불 이벤트 차가 또!

레드불 이벤트 차

종합도서관 앞에 레드불 이벤트 차가 또 와있네요.
저 줄을 서면 레드불 에너지 드링크 한 캔을 공짜로!

図書館前レッドブル車がまた来ていますね。
試験期限が近づいていて?

 

일본 피자헛 배달 (PizzaHut 出前)

으으 오늘도 귀차니즘으로 인해 피자를 배달시켰습니다.
今日も面倒くさくてまたピザ出前。

한 번 배달의 편리함(?)을 맛보고 나니, 또 반복하게 되네요 흑흑.
出前の幸福(?)を経験したら止められないですよね。

뭐 피자를 딱히 좋아하진 않지만, 마땅히 배달시킬 것이 없어서…
ピザがあまり好きではないですけど、適当なメニューが浮かばなくて…


일본 피자헛 배달

일본 피자헛 홈페이지에 들어가보니 이런 이벤트를 하고 있더군요.
PizzaHutホームページに接続してみたらこんなイベントが!

결코 싼 가격은 아니지만 1,500엔 짜리 할인 피자를 구입.
あんまり安くはない価格なんですけど、1500円のピザを注文。






일본 피자헛 배달

30분 후에 띵동~
도착한 피자.
30分後ピザ到着.






일본 피자헛 배달

이번에도 역시 4가지 맛이 섞여 있는 피자를.
음~~~~스멜~
今回もやっぱり4種味のピザ。

먹음직스러워 보이네요.
美味しそう!






일본 피자헛 배달

맛은 도미노 피자보다 월등히 맛있었습니다.
ドミノピザよりうまかったです。

특히 빵과 치즈면에서 압도적이더군요.
特にパンとチーズがすごくうまかったです。

역시나 남은 건 냉장고에 보존.
残り物は冷蔵庫に保存。

 

일본 전역, 미쿠 포인트카드 비상 경보!

미쿠 포인트 카드

몇 일 전에 6월부터 11월까지 한정교부되고 있는 하츠네 미쿠 T 포인트카드를 받고 기쁜 마음에 블로그에 사진을 찍어 포스트를 올렸습니다만, 가젯트 통신에 제 행위와 관련된 재미있는 기사(기사 원문 보기)가 있어서 잠시 번역해 보았습니다.

하츠네 미쿠 포인트 카드 입수의 기쁨에 인터넷에 띄우는 사람 속출!
공식 “번호공개는 개인정보가 유출되기 때문에 감추도록!”

6월 11일부터 발행 개시된 하츠네 미쿠 T포인트 카드. 패밀리마트와 츠타야에서 손에 넣을수 있는데, 카드를 갖고 싶은 사람은 츠타야로 가서 525엔을 지불하면 가질 수 있다. 자세한 입수방법은 과거의 가젯트 통신의 기사를 참조하기 바란다.

이미 미쿠 카드를 손에 넣은 많은 사람들이 너무나 큰 기쁨에 “미쿠 카드 GET!” 이라고 트위터나 페이스북에 공개. 그러나 카드에 기입되어 있는 T 카드번호에 의해 개인정보가 유출될 우려가 있다. T카드 번호는 T 포인트카드의 포털사이트 “T-SITE”의 로그인 아이디로도 사용되고 있어, 부정 로그인으로 이어질 가능성이 있다. 트위터에 띄우면 그 사람의 생일이나 닉네임으로부터 패스워드가 추측되어 부정로그인으로 이어져버릴 가능성도 있다. 부정 로그인이 행해지면 이름, 주소, 전화번호, 생년월일 등도 유출되어 버린다.

이런 위험을 방지하기 위해 카드의 번호 부분을 손이나 종이로 가리거나, 음영 처리를 하고 나서 공개하는 등의 수를 쓰기 바란다.

하츠네 미쿠 T 포인트 카드의 공식 사이트에도 “T 카드번호의 취급과 카드 사진의 SNS 등의 공개에 관한 부탁” 이라는 주의문이 추가되어 있고, 그것을 클릭하면 게시할 때의 주의사항이 쓰여져 있다.

만일 이미 공개해버린 사람이 있다면, 사진을 지금 즉시 삭제하고, 카드번호 부분을 음영 처리하거나 손가락으로 가리고 사진을 찍은 다음 재공개하도록 하자.

< 이 기사에 대한 댓글>
– 안돼안돼, 가리지 않으면 안 되지.
– 저렇게 올리는 사람이 있어서 괜찮을까 생각했는데, 역시 안 되지~
– T 카드 개인정보 덩어리에요.
– 미쿠 T 포인트 받으러 갈까.
– 아아, 실컷 지적된 결함의 폐해가 현실이 되었네.



아 물론 저는 모자이크를 하고 올렸습니다, 하하 -_-;

 

오사카 미노 온천 (사우나) : 箕面湯元 水春

오늘은 저희 마을에서 거의 유일한(?) 온천에 다녀왔습니다.
그것도 자전거를 타고 20분 정도 가야되는 거리이긴 하지만…

오사카 미노 온천 사우나

열심히 언덕을 올르고 올라…






오사카 미노 온천 사우나

드디어 도착한 箕面湯元 水春 라는 온천입니다.
월요일인데도 불구하고 사람들이 꽤 많더군요..
확실히 이곳 사람들이 스파를 좋아하긴 하는가 봅니다.






오사카 미노 온천 사우나

혹시 조금이라도 문신을 하셨다면 일본의 온천이나 사우나는 포기하셔야 합니다.
의외로 일본은 한국과 달리 문신에 대해서만큼은 굉장히 폐쇄적이기 때문입니다.
문신을 한 사람은 야쿠자 말고는 없다고 해도 과언이 아닐 정도라는군요.






오사카 미노 온천 사우나

음 이곳이 진짜 입구.
안 쪽 자동판매기에서 입장권을 700엔에 구매하고 들어가면 됩니다.






오사카 미노 온천 사우나

약 1시간 정도 느긋하게 목욕을 하고 나왔습니다.
이곳저곳 촬영을 즐기는 저이지만, 차마 온천 안에서는 찍을 수 없었습니다.
시설은 뭐 그럭저럭 좋았습니다.
특히 야외 노천탕을 꽤 잘 해 놓았더군요.






오사카 미노 온천 사우나

목욕을 즐기고 건물 밖으로 나온 모습.






오사카 미노 온천 사우나

그리고 귀가하는 길에 덤으로 빠칭코도 좀 즐기고..

 

일본 도미노피자 (Domino Pizza) 出前

일본에 와서 처음으로 피자를 한 번 배달시켜 먹어 봤습니다.
나가서 사먹는거조차 귀찮은 날이 종종 있지요.

일본 도미노피자

메뉴는 4가지 맛이 섞여 있는 クワトロ・ギーク.




일본 도미노피자

맛은 뭐 그럭저럭.
특히 윗쪽 두 종류는 전형적인 일본 스타일의 맛이더군요.
일본 도미노피자도 철저히 현지화에 성공한 듯 싶네요.

 

[홍콩 배낭여행 : Day 2] 빅토리아 피크 정상에 오르다

2006년 12월 22일, 홍콩에서의 둘째 날이 밝았습니다.
이 날은 전날의 피로로 인해 오후 늦게 일어난 것 같네요.

그렇게 느긋하게 일어나서 오후 5시쯤 꽃단장을 하고 호텔 밖으로 나갔습니다.
어차피 어두워졌기 때문에 다른 곳은 무리겠고..
야경으로 유명한 빅토리아 피크(Victoria Peak)에 올라가 보려고 합니다.

Hongkong Victoria Peak Night View

여기는 홍콩 지하철을 찍은 것인지,
아니면 빅토리아 피크로 올라가는 트램을 찍은 것인지 잘 모르겠네요.
아, 홍콩 지하철은 그 속도가 무진장 빠르더군요 후덜덜.






Hongkong Victoria Peak Night View

드디어 빅토리아 피크에 도착했습니다!
눈앞에 펼쳐진 엄청난 홍콩의 야경..

그 때 당시는 대구 촌뜨기 고딩에 불과했기 때문에..
이 엄청난 광경을 넋을 잃고 바라보았습니다.






Hongkong Victoria Peak Night View

당시 카메라는 캐논의 G6라는 똑딱이를 쓰고 있었습니다.
그저 무의식적으로 셔터를 눌러줍니다.
어제는 저 강 건너편에 있었는데 말이죠.






Hongkong Victoria Peak Night View

뒤 쪽을 돌아보니 뭔가 고급스러운 대저택들이 많았습니다.
저런 곳에 살면 이런 야경을 매일같이 볼 수 있으니…






Hongkong Victoria Peak Night View

굉장히 추운 겨울이었음에도 불구하고,
많은 관광객들이 빅토리아 피크를 찾아와 주었습니다.






Hongkong Victoria Peak Night View

또 한 번 뒤돌아서 고급 저택들 찍어주고…






Hongkong Victoria Peak Night View

마지막으로 야경을 머릿속에 확실히 각인시키겠습니다.






Hongkong Victoria Peak Night View

여기는 빅토리아 피크의 상점가 같네요.






Hongkong Victoria Peak Night View

빅토리아 피크 정상의 한 레스토랑의 모습입니다.
레스토랑이 굉장히 예쁘고 아담해서 찍었나 보네요 ㅎㅎ.






Hongkong Victoria Peak Night View

마지막 사진은 빅토리아 피크 정상의 분수대.
내일은 리펄스베이(Repulse Bay)와 그 주변을 한 번 탐방해 볼 계획입니다!

 

집으로 돌아오는 길 : 하교길 2 (下校道 2)

수백번을 자전거를 타고 빠르게 왔다갔다 했던 길을,
毎日自転車で登下校する道を

오늘은 좀 느리게 와 봤습니다.
今日はちょっとゆっくり帰って見ました。

Osaka Minoh

桜井駅



Osaka Minoh

저도 찍혔네요 -_-;
僕も写ってますね..

 

[학교생활] 고독한(?) 조교 생활 (寂しいTA生活)

Osaka University Teaching Assistant

Osaka University Teaching Assistant

Osaka University Teaching Assistant

Osaka University Teaching Assistant

모두가 떠난 후 혼자 버려진 조교. 。(´Д`)。

Osaka University Teaching Assistant

 

워드프레스 댓글 수정/삭제 플러그인

워드프레스 블로그를 시작하고 나면 얼마 지나지 않아 댓글(코멘트)에서 큰 불편한 점을 발견하게 됩니다. 바로 댓글에 수정이나 삭제 버튼이 없다는 것이지요. 고로 비로그인 상태에서 댓글을 단 사람은 기본적으로 이미 제출한 댓글에 대해서 어떠한 권한도 갖지 못하게 됩니다. 이건 뭐

이런 것도 아니고…-_-;

뭐 어쨌든 댓글 수정, 삭제 기능을 추가해 보았습니다. 워드프레스 플러그인 창에 “comment edit”라고 검색만 해 봐도 꽤 많은 플러그인들이 나옵니다만, 저는 그 중에서 최소한의 기능만 탑재하고 있는 가벼운 플러그인인 Editable Comments 라는 걸 이용해 봤습니다.

설치하고 나서는 설명서대로 아래의 코드

를 적당한 위치, 예를 들면 functions.php나 comments.php의 코멘트 내용 바로 뒷부분

정도에 적당한 스타일을 추가해서 삽입해 주면 되겠네요. 그러면 아래와 같이

댓글 수정, 삭제 버튼이 추가된 모습을 확인할 수 있습니다! 물론 별다른 비밀번호 기능은 없기 때문에 댓글을 단 시점과 동일한 IP를 가지고 접속해야만 수정할 수가 있습니다.

 

Internet Explorer 8 안쓰면 안되겠니?

블로그 속도 향상을 위해 인터넷 익스플로러 8 이하를 버리기로 했습니다. CSS와 Java Script 파일들을 minimizing 하고 나니 IE8 이하에서는 아래와 같이 먹통이 되어버리는군요. 물론 그 전에도 썩 좋은 모습을 하고 있지는 않았습니다만…

Internet Explorer 8

Internet Explorer 7


인터넷 익스플로러 10의 비밀리에 숨겨진 기능을 이용하면, 자신의 웹사이트를 구 버전의 IE에서 볼 수가 있습니다. IE10을 가동시키고 바로 F12를 누르면 바로 하단에 다음과 같은 화면이 뜹니다.

여기서 원하는 버전을 선택하게 되면 몇몇 분들은 처참한 몰골을 한 자신의 웹사이트를 마주하실 수 있게 되겠습니다. 저는 아래와 같은

코드를 body 태그 바로 아래에 삽입시켜서 원하지 않는 브라우저로 접속시 아래와 같은 화면을 볼 수 있게끔 했습니다.

일단은 이걸로 임시처방을 할 수 있었습니다..

그렇다면 버려진 사용자 숫자는 대충 어느정도 될까요?
먼저 웹브라우저 마켓 셰어를 한 번 확인해 보았습니다.


역시 한중일은 아직도 익스플로러가 점령하고 있네요. 구체적인 수치는 다음과 같았습니다.

뭐 글로벌하게는 현재 IE의 비중이 현저하게 낮아져 버렸기 때문에 별 걱정을 하지 않아도 될 것 같습니다. 보시다시피 IE의 비중이 20퍼센트 가량 되는데 그 중 IE8 이하는 아무리 많아봐야 10퍼센트도 안 될 것 같네요.

그렇다면 남한의 경우는 어떨까요? statcounter.com은 아래와 같은 놀라운 수치를 제공해 주었습니다.

http://gs.statcounter.com

허허 몇 년 전까지만 해도 IE의 남한 점유율이 99%에 육박했던 것에 비하면 많이 나아지긴 했지만, 그래도 여전히 높네요 OTL.

일단 진정하고, 제가 관심있는 것은 유입이 가장 많은 남한에서의 IE8 이하의 점유율이니까…

허허 이런.. IE8의 점유율이 35% 가까이나 되는군요 OTL. 게다가 더 걱정스러운 것은 보시다시피 2013년 2월경부터 IE9의 점유율은 떨어지고 IE8의 점유율이 또 올라가고 있는 사실이죠. IE10이 치고 올라가고 있긴 하지만…어떨까요? IE10을 사용해보고 개인적으로는 의외로(?) 속도와 성능이 괜찮아서 IE8 따위 먹어 치울거라 생각했었는데, 역시 IE8 이하에서 최적화된 ActiveX가 또 남한에서 불쌍한 양민들의 발목을 잡나 보네요(IE9, IE10도 슬슬 ActiveX를 버리는 추세인지라).

결국 35%의 유입을 버리기에는 너무나 큰 출혈이기에,
IE8을 커버할 수 있는 다른 대책을 마련해 보아야 겠습니다…


 

패밀리마트 미쿠 포인트 카드로 교환

기존의 칙칙했던 패밀리마트 T 포인트 카드를 버리고,
산뜻산뜻한 미쿠 포인트 카드로 교환했습니다!
持っていたファミリーマートのTポイントカードを捨てて、
みっくみくなミクポイントカードへ変更しました!


ファミリーマート ミク カード

호호 아주 마음에 드는군요!
とても気に入りますね!

사실 신용카드 버전이 훨씬 예쁘지만, 귀차니즘 때문에 포인트카드로 만족하기로..
実はクレジットカードのほうがもっと綺麗だと思いますが、面倒くさくてこれで満足!

아래는 기존에 사용하던 패밀리마트 포인트 카드.
これは今まで使っていたTポイントカード。

ファミリーマート Tポイントカード



끙.. 그럼 오늘도 모두 행운 가득한 하루 되시길!
それでは今日もみんな良い一日になりますように!


 

블로그에 Responsive CSS Framework를 적용하다

codevisually_sept_07_small

최근에 다양한 스크린 사이즈를 가지고 있는 모바일 기기들을 위해서 CSS를 좀 수정해 보았습니다. 이 전에 3일간은 WPTouch 라는 플러그인을 이용한 반응형(responsive) 웹페이지였습니다만, 꽤나 많은 문제들이 있었기 때문에, 또 mathskykite님의 blog의 영향을 크게 받아 결국 이렇게 되었군요. 아직 완벽하게 완성하진 못했지만, 대충 노가다로 아래와 같이 가로 폭에 따라서 디자인과 글자 크기 등이 변하는 모습을 볼 수 있습니다. 먼저 어느정도의 가로폭까지는 되도록 전체를 보여주고 싶기 때문에 변화를 주지 않다가, 꽤 많이 좁아졌다 싶을 때 사이드바와 하단 Footer를 없앴습니다. 그 후에는 점차적으로 글자 사이즈와 디자인, 댓글창이 변하게 됩니다.

그런데 녹화 화질은 왜 이렇게 구려진거지..흑흑



소스는 본래 twenty eleven 스킨에서 제공했었던 것을 수정하여 사용했습니다. 처음 4스텝의 코드는 다음과 같습니다.

Responsive CSS framework

제가 반응형 웹(모바일 기기를 탐지하여 전체적인 웹 디자인이 변하는)을 버리고 CSS Framework를 통한 대응을 선택한 이유 몇 가지는 다음의 것이었습니다.

1. CSS Framework는 별 다른 설정 없이 자신의 웹페이지의 디자인, 기능들을 수정하지 않고, 그것을 그대로 유지하면서 다양한 스크린 사이즈를 가진 모바일 기기들에게 제공할 수 있습니다.

2. 반응형 웹이 현재 70종이 넘는 다양한 스크린 사이즈를 가진 다양한 모바일 user-agent들을 모두 정확히 탐지해 낼 수 없습니다. 가령 아이폰 시리즈의 경우 user-agent로 “iPhone”이라고만 인식시켜주면 되지만, 삼성의 갤럭시 폰의 경우 워낙 모델명이 많은데다 국가마다 모델 넘버가 다르기 때문에 약 50여종의 모델명을 전부 인식시켜 주어야 합니다. 거기다 더 문제는 휴대폰 회사가 이 둘 뿐만 있는게 아니라는 것이죠.

3. 스마트폰과 PC 중간의 수많은 “애매한” 스크린 사이즈에 대응하기 곤란합니다. 예를 들면 iPad 같은 사이즈가 있겠지요. 뭐 PC, iPad, 휴대폰 3종류의 스크린 사이즈밖에 없다면야 3개를 따로 만들면 그만이지만, 미래에는 스크린 사이즈의 종류가 더욱 급증할 것이기 때문에, CSS Framework야말로 최적이라 할 수 있겠네요.

4. 반응형 웹의 경우 새로운 스크린 사이즈와 새로운 기기들이 출시될 때 마다 웹을 손봐주어야 하는 번거로움이 있습니다.

그런데 아직 CSS에 미숙한지라 플러그인 등 세부적으로 손봐줘야 될 것이 아직 많이 남아 있군요 OTL.

 

Several Basic Inequalities for PDEs

In mathematics, especially in analysis and PDEs, we evaluate or compare some mathematical quantities in order to reach a desired conclusion. Of course, equality is the best one, however, in many situations we cannot reach our goal only with equalities. In these cases, we may apply inequalities which are weaker, but still powerful.

In this post, I introduce several basic inequalities which are frequently used in many papers on PDEs in which I am majoring now. I listed the inequalities, in the order of frequency of use, appeared in PDE papers which I have read. Since all the listed inequalities are very elementary, I do not mention the proofs, but I write some descriptions for them.

For the simplicity, we assume that the functions $f,g$ and $h$ are in a suitable function space and denote the standard Sobolev space $H^s = H^{s,2}$.



1. Sobolev Inequality

The first prize is the Sobolev inequality which is also called Sobolev embedding theorem. There are a lot of versions of the Sobolev inequality, but the most frequently used form is $H^{s,p} \hookrightarrow L^q$ version:

For $n \in \mathbb N$, if $1\leq p<\infty$ and $0<s<n/p$, then $$ \|f\|_{L^{\frac{np}{n-sp}}(\mathbb R^n)}\lesssim\|f\|_{H^{s,p}(\mathbb R^n)}. $$In fact, I think the most frequently used one is the $H^{s,p} \hookrightarrow L^\infty$ version which is very simple but sharp:

For $n\in\mathbb N$, $k\in\mathbb N_0$, if $p>1$ and $s>k+n/p$, then $f\in C_b^k(\mathbb R^n)$, vanishes at the infinity, and
$$\|\nabla^\alpha f\|_{L^\infty(\mathbb R^n)}\lesssim\|f\|_{H^{s,p}(\mathbb R^n)} $$
holds for $|\alpha|\le k$.

Most mathematicians in this field naturally apply various Sobolev-type inequalities, even without any mentions in the calculation on their papers.
For example, one may adopt a suitable function space, say $X_T$ with a suitable norm something like
$$ \|f\|_{X_T} = \sup_{t\in[0,T]} \left(a(t)\|f(t,\cdot)\|_{L^\infty(\mathbb R^n)} + b(t)\|f(t,\cdot)\|_{H^s(\mathbb R^n)} + \cdots \right)$$
for some $a(t),b(t)$ to obtain appropriate a priori estimate for evolution equations. In general, we have to estimate $L^\infty$ term under a certain assumption. In this case, the Sobolev inequality can be used to estimate the $L^\infty$ terms by $H^s$ terms for small $t$ like
$$
\|f(t,\cdot)\|_{L^\infty(\mathbb R^n)}
\lesssim
\cdots
\lesssim
a(t)^{-1} \|f(t,\cdot)\|_{H^s(\mathbb R^n)}
\lesssim
\cdots
\lesssim
\text{functions of } \|f(t,\cdot)\|_{X_T}
$$
In fact, the case of large $t$ is difficult to estimate in general. Like this, in most cases, a PDE paper includes at least several Sobolev inequalities in the lines of calculation.



2. Energy Inequality

The second one is the energy inequality, sometimes called by energy method or energy estimates. In general, the energy method can be applied to almost all PDEs since the method does not require any strong conditions. Of course, we cannot obtain powerful results only with the standard energy method, however, in most cases the energy method plays a role to perform various methods in PDE. For the simplest example, we consider the following nonlinear wave equation
$$
\square f = N(f)
$$
where $\square=\partial_t^2 – \Delta$ with the initial condition $(f,\partial_t f)(0,\cdot) = (f_0(\cdot), g_0(\cdot))$ and a nonlinear term $N$. Then as in the Sobolev inequality, we may have to estimate $H^s$ terms in $X_T$ above to get a suitable priori estimate. To do this, we may need a standard energy inequality:
$$
\|\partial f (t) \|_{L^2(\mathbb R^n)} \lesssim \|\partial f(0)\|_{L^2(\mathbb R^n)} + \int_0^t \|N(f(\tau))\|_{L^2(\mathbb R^n)}d\tau
$$
for $t< \infty$. This is the straight forward result by multiplying $\partial_t f$ both sides to the equation and integrating by parts in the space. Of course, we can do the same steps for the $H^s$ norm. The energy inequality also can be obtained when we apply the vector field method. For example we consider the following nonlinear Klein-Gordon equation: $$ (\square+1)f = N(f) $$ with the initial condition as before. Then by the substitution $u = \frac{1}{2} (f + i\langle i\nabla \rangle^{-1}\partial_t f)$, we may write the equation as $$ (\partial_t + i\langle i\nabla \rangle)u = \widetilde{N}(u) $$ for some $\widetilde{N}$ where $\langle \cdot \rangle = \sqrt{1+|\cdot|^2}$. Multiplying both sides of this equation by $e^{i\langle i\nabla \rangle t}$, using the identity $e^{i\langle i\nabla \rangle t} (\partial_t + i\langle i\nabla \rangle) = \partial_t e^{i\langle i\nabla \rangle t}$, and integrating both sides with respect to time, we obtain $$ u(t) = e^{-i\langle i\nabla \rangle t} u(0) + \int_0^t e^{i\langle i\nabla \rangle (\tau-t)} \widetilde{N}(u(\tau))d\tau. $$ Finally, taking $H^s$ norm to the both sides, we get the standard energy inequality as follows: $$ \| u(t) \|_{H^s(\mathbb R^n)} \le \| u(0) \|_{H^s(\mathbb R^n)} + \int_0^t \|\widetilde{N}(u(\tau))\|_{H^s(\mathbb R^n)}d\tau. $$ In general, the next step is to estimate the second integral term under a suitable assumption.


3. Cauchy-Schwarz Inequality

In PDE field, the Cauchy-Schwarz Inequality with $L^2$ inner product is also useful:
$$
\int_{\mathbb R^n} f \overline{g} \le \| f \|_{L^2(\mathbb R^n)} \| g\|_{L^2(\mathbb R^n)}.
$$
This inequality is really elementary, but applied in many lines of calculations.



4. Hölder Inequality

The Hölder inequality is the generalization of the Cauchy-Schwarz inequality, that is:
$$
\| fg \|_{L^1(\mathbb R^n)} \le \| f \|_{L^p(\mathbb R^n)} \| g\|_{L^q(\mathbb R^n)}
$$
where $1 \le p,q \le \infty$ with $1/p+1/q=1$. And the generalized version of $m \ge 2$ functions is also frequently used. Note that the Hölder inequality or Cauchy-Schwarz inequality makes us possible to deal with $L^{\text{(space that I want)}}$ norms with some restrictions instead of $L^1$.



5. Young Inequality

The Young inequality is also useful in many lines of calculations:
$$
\forall \varepsilon>0, \quad |fg| \le \frac{|f|^2}{2\varepsilon} + \frac{\varepsilon |g|^2}{2}.
$$
We usually use the Young inequality to separate two functions if we know some information of the separated functions respectively. Also the Young inequality may play a role in applying the Gronwall inequality in some situations.



6. Gronwall Inequality

The next one is Gronwall’s inequality which is also called Gronwall’s lemma:

Assume $h\geqslant 0$ and that
$$
f(t) \leqslant g (t) + \int_{0}^{t} h(s) f(s) ds.
$$
Then the following holds:
(1) $f(t) \leqslant g (t) + \int_{0}^t g(s) h(s) e^{\int_{s}^t h(r) dr} ds$
(2) If $g$ is non-decreasing, $f(t) \leqslant g(t) e^{\int_{0}^t h(r) dr}$.

In many cases, the condition in (2) is satisfied. Usually the Gronwall inequality is used to deriving an energy inequality in this field. Also we note that there is differential version of the Gronwall inequality.




7. Gagliardo-Nirenberg Inequality

The last one is Gagliardo-Nirenberg’s inequality:

For $1\le r,p \le \infty$, $m\in\mathbb N$,
$$
\| \nabla^j f \|_{L^q(\mathbb R^n)} \lesssim \| \nabla^m f \|_{L^p(\mathbb R^n)}^{j/m} \| f \|_{L^r(\mathbb R^n)}^{1-j/m}
$$
holds, where $j\in \{0,1,\cdots,m\}$ and
$$
\frac{1}{q} = \frac{j}{m} \frac{1}{p} + \left(1-\frac{j}{m} \right) \frac{1}{r}.
$$

Almost all mathematicians in this field use this inequality naturally on their works. So this inequality is also essential to research PDEs. And there are plenty of interpolation inequalities of Gagliardo-Nirenberg type.

If you familiarize yourself with only these several inequalities, I think you may read and understand lots of recent papers on PDE. In the following article, I will introduce more specific inequalities and discuss about them.

 

ワードプレスで日本語Webフォントを適用してみよう!

ワードプレス日本語フォント

ワードプレス(WordPress)でホームページを作ったとき一番の問題は日本語のフォントの問題です。もちろん、フォントに気をあまり使わない人なら大丈夫かもしれませんが、僕のようにフォントに敏感な人々はたまらないはずです。ここでは、font faceを用いて簡単な方法で日本語フォントを変更する方法を紹介します。

1. 日本語フォントの準備

まず最初にすべきことはフォントを用意することです。フォントの姿も重要な問題ですが、もっとも重要なものはフォントファイルのサイズです。Webでは速度速くなければならないですから、ファイルのサイズが小さいフォントがいいです。自分のサーバーからダウンロードする予定なら1.0MB以下が適当です(ひらがなとカタカナだけのフォントはもちろん10kBぐらいのフォントもたくさんあります)。僕が推薦するフォントはM+ 1p regular フォントです。フォントのホームページはこちらですが、こちらで無料ダウンロードができます。Licenseもフリーですので安心しましょう。

2. TTFフォントをWOFFフォントへ変換

上記サイトでダウンロードしたフォントはmplus-1p-regular.ttfです。でもこのTTFタイプのフォントはサイズも大きいですし、Internet Explorerでは動作しないかもしれません。ですからこのTTFフォントをWOFFタイプへ圧縮しなければならないです。圧縮は下記のサイト

http://everythingfonts.com/ttf-to-woff

で易しくできます。そうすると1.3MBのmplus-1p-regular.ttfが800kBのmplus-1p-regular.woffになります。

3. 自分のサーバーにフォントをアップロード

mplus-1p-regular.woffフォントを自分のサーバーの適当な位置(一般的にはRoot)へアップロードします。

4. CSS 編集

自分のホームページのスタイルを担当するstyle.cssを開けてもっとも上段の部分に

のようにコードを追加します。また、例えば

のようにfont-familyでmplus-1p-regularを指定しておきます。これで終わりました。もちろんお金を投資するとこれより小さくて綺麗なフォントを求めることができるかもしれませんよ。