About Leun Kim

I was born and raised in Daegu, S. Korea. I majored in electronics and math in Seoul from 2007 to 2012. I've had a great interest in math since freshman year, and I studied PDE in Osaka, Japan from 2012-2014. I worked at a science museum and HUFS from 2014 in Seoul. Now I'm studying PDE in Tokyo, Japan. I also developed an interest in music, as I met a great piano teacher Oh in 2001, and joined an indie metal band in 2008. In my spare time, I enjoy various things, such as listening music, blogging, traveling, taking photos, and playing Go and Holdem. Please do not hesitate to contact me with comments, email, guestbook, and social medias.

[더 늦기전에 01] 2012년 여름휴가 – 서울나들이 Day 4 (서강대 청사초롱)

연말 특집 프로젝트 – 더 늦기전에 01

하드디스크에 잠자고 있던 비교적 근래의 사진들이 아깝기도 해서, 계획한 프로젝트입니다. 귀차니즘으로 당시에 업로드 하지 못하고 있었던 추억들을 잠시 꺼내보는 시간!

 
먼저 그 첫번째 시간으로, 작년 여름에 다녀왔던 서울 나들이(Day 1, Day 2, Day 3)의 마지막 날 이야기입니다 (2012년 9월 18일). 그 날 저녁에는 잠시 서강대로 갔습니다. 아무래도 이 동네에 그나마 지인들이 많이 있어서..
 

서강대 청사초롱 파전

서강대 정문 주변에 있는 파전과 동동주를 파는 청사초롱의 모습입니다.
정말 오랜만에 와 보는군요.




서강대 청사초롱 파전

여기서 당시 석사 2년차였던 프로그래머 Cho를 만나서 같이 파전과 동동주를 먹었네요.




서강대 청사초롱 파전

동동주를 건네는 프로그래머 Cho.
너도 먹어 ^^




서강대 청사초롱 파전

오, 드디어 도착한 파전.
아 지금도 먹고 싶네요, 안그래도 배고픈데 OTL.




서강대 청사초롱 파전

프로그래머 Cho의 표정이 좋지 않은 관계로 모자이크 처리.




서강대 청사초롱 파전

그리고 그 다음날!
이 날 오전에는 강남에서 익룡이야!(blog.naver.com/kirokkk123)를 만났습니다.
딱히 미리 연락한 적도 없었는데 정말 우연히 만났네요.
때마침 익룡이 면접 때문에 대전에서 서울로 올라와 있던 상태였기 때문이죠 ㅎㅎ.




서강대 청사초롱 파전

근처 카레집에 들러서 점심 식사를 했습니다.
그리고 사이다를 시켰는데, 저 칠성사이다 한 캔을 주더군요 -_-;




서강대 청사초롱 파전

익룡도 대전으로 내려간다고 하길래, 같이 KTX를 탔습니다.
익룡은 대전에서 내리고, 저는 대구로 내려가고…
이동중에도 사그라들지 않는 연구 열정!

 

[오사카 미노] 마키오치 하치만 신사 탐방 (牧落八幡大神宮)

흑마를 타고 장을 보고 오는 길에, 우리 마을 신사(神社)에 잠깐 들렀습니다.
정식 명칭은 마키오치 하치만 신사, 하치만 대신궁 (牧落八幡大神宮)이라고 하는 군요.
보통 하치만 신(八幡神)이라고 하면, 일본 15대 천황인 오진 천황 (応神天皇)을 가리키는 말이라고 합니다.
일본 전국에 이 하치만 신을 모시는 신사가 4만여개가 있다고하니, 정말 많긴 많네요.

사실 여기는 신사라기보다 공원 느낌이 강해서,
이 곳 아주머니들의 수다장소나, 주변 소학교 학생들의 놀이터로 사용되고 있습니다.
 
오사카 미노 마키오치 신사 Osaka Minoh

마키오치 하치만 신사 정문의 모습!
보통 일본 신사들의 문이 모두 저런 형태로 되어 있던데,
아마 뭔가 특별한 의미가 있는게 아닐까 싶습니다.
(신들이 신사를 자유롭게 드나들기 위한 모양이라던지..)




오사카 미노 마키오치 신사 Osaka Minoh

측면에서 한 번 더 찍어주고…




오사카 미노 마키오치 신사 Osaka Minoh

제 흑마를 잠시 주차해 두었습니다.
앞 바구니에는 오늘 장을 본 음식들…




오사카 미노 마키오치 신사 Osaka Minoh

흠 이제 안으로 슬슬 들어가 볼까요?




오사카 미노 마키오치 신사 Osaka Minoh

정면에 있는 건물.
오오.. 뭔가 신비한 분위기가 감도는 듯 합니다.
여기도 아까 봤던 형태의 문이 또 있네요.




오사카 미노 마키오치 신사 Osaka Minoh

뒷 편으로 한 번 찍어주고…
마을 아주머니들의 모습이 보이네요.




오사카 미노 마키오치 신사 Osaka Minoh

음 뭔가 빨간 문도 보이고…




오사카 미노 마키오치 신사 Osaka Minoh

정면 신당의 모습.




오사카 미노 마키오치 신사 Osaka Minoh

우측에도 문이 있네요.




오사카 미노 마키오치 신사 Osaka Minoh

여기는 식수대인 것 같았습니다.
물을 떠 마실 수 있는…




오사카 미노 마키오치 신사 Osaka Minoh

신사라고 해서 특별한 곳에 있는 것이 아닌 듯 합니다.
우리 마을 신사는 이렇게 이 곳 주민들의 집 한가운데 자리잡고 있지요.
게다가 관리하는 사람도 특별히 없는 것 같고..

 

연말 이례적인 구글 페이지랭크 (Google Page Rank) 업데이트가!

google-pagerank

그야말로 “Surprise!”군요. 2013년 12월, 대대적인 구글 페이지랭크 (Google Page Rank) 업데이트가 있었습니다. 어제 그냥 무심코 구글의 페이지 랭크를 조회해 봤더니, 기존에 NR(Not Ranked)이었던 제 사이트 랭크가 바뀌어 있더군요(참고로 깡통 사이트라 할 지라도 업데이트가 되었다면 랭크는 0으로 조회되어야 합니다). 헉, 그래서 구글링 해 봤더니 역시나 구글의 깜짝 업데이트가 있었네요 후후.
 
구글의 트레이드마크인 구글 페이지랭크 업데이트는 구글의 철통같은 보안 속에 랜덤하게 이루어지기로 유명합니다. 그 시기는 아무도 예측할 수가 없지요. 실제로 2006년에는 무려 8회나 업데이트된 반면, 2010년에는 4월 단 한차례만 업데이트가 이루어졌습니다. 2012년에는 2월, 5월, 8월, 11월에 걸쳐 총 4차례의 업데이트가 있었지만, 2013년에는 2월 4일 업데이트 이후 전혀 업데이트가 이루어지지 않고 있었지요. 그 때문에, 제 블로그를 포함해서 2013년 2월 4일 이후 구글에 노출된 사이트들은 모조리 페이지랭크가 NR (Not Ranked)로 조회되고 있었습니다.
 
이렇게 장기간 업데이트가 이루어지지 않자, 누군가 트위터를 통해 Matt Cutts에게 다음과 같은 질문을 날렸군요.

 
하지만 돌아온 대답은 좀 부정적이네요. 그러나 그로부터 정확히 2개월 후 Matt Cutts는 돌연 다음과 같은 발표를 합니다.
 

 
뭐 이런 낚시가… 뭐 어쨌든 제 블로그가 드디어 구글 페이지랭크를 갖게 되어서 기분이 좋아요 헤헤. Google PageRank Checker (www.prchecker.info)를 통해 구글 페이지랭크를 조회해 본 결과, 제 블로그는

Rank 2로 비교적 선방(?) 했네요 하하 (사실 이 시점에서 3정도가 목표였습니다만 OTL). 혹자는 구글 페이지랭크를 구글 검색의 핵심이라고도 하던데, 설마 그 정도까지 영향을 끼칠까요.. 뭐 어쨌든 더 많은 구글 유입을 기대할게요.. (사실, 언제부턴가 이 블로그로의 구글 유입 트래픽이 네이버 유입 트래픽을 거의 따라잡았더군요 -_-;).
 
# 마지막으로 구글 페이지랭크 알고리즘을 일반인들에게 쉽게 설명한 글이 있어 아래 링크해 둡니다:
‘쉽게 설명한’ 구글의 페이지 랭크 알고리즘 – 조성문의 실리콘밸리 이야기

 

1차원 클라인 골든 방정식에 대한 고찰 (Time Decay 의 관점에서)

이 쯤 해서 내 나름대로 정리도 할 겸 클라인 골든 방정식(Klein-Gordon Equation)에 대한 포스트를 써 두어 본다. 먼저 1절에서는 $n$ 차원 클라인 골든 방정식에 대한 고전 결과들을 소개하고, 2절에서는 업계(?)에서 주로 쓰는 용어들을 설명한다. 3절에서는 단독(単独) 1차원 클라인 골든 방정식에 대한 최신 결과들을 소개하고, 4절에서는 연립(連立)인 경우에 대해 소개한다.
 
1. 비선형 클라인 골든 방정식

먼저 이 전에 포스팅 했던 내용([1], [2])을 간략하게 복습한다. 이 포스트에서는 [1], [2]와 마찬가지로 물론 다음과 같은 초기치 문제: $\boldsymbol n$차원, $\boldsymbol N$차 연립 비선형 클라인 골든 방정식 (Nonlinear Klein-Gordon Equation)을 생각한다.
$$
\text{(NLKG)}\left\{
\begin{array}{l}
(\Box + m_j^2)u_j = F_j(u,\pa u),
\qquad (t,x) \in (0,\infty) \times \R^n,\; j=1,\cdots, N, \\
u_j(0,x) = \eps f_j(x), \;\; \pa_t u_j (0,x) = \eps g_j(x),
\qquad x \in \R^n,\; j=1,\cdots, N
\end{array}
\right.
$$
여기서 질량 $m_j$ 는 항상 양의 실수, $n \in \mathbb N$, $N \in \mathbb N$ 이고, $$u=(u_j)_{1\le j \le N} : [0,\infty)\times \R^n \to \R^N,\quad \pa u = (\pa_{t,x}^\alpha u_j)_{|\alpha|=1, 1\le j\le N}$$
이다. 간단히 말하면 $u$ 는 $u_j$ 의 모든 성분으로 이루어진 벡터, $\pa u$ 는 $u$ 의 $t, x$ 에 관한 1차 미분의 모든 조합으로 구성된 벡터이다. 언제나처럼 비선형항 $F=(F_j)_{1\le j \le N}$ 는 $(u, \pa u)$ 에 관한 smooth한 함수로 원점 주변에서 $\boldsymbol p$차 비선형성을 가정한다:
$$
F_j(u,\pa u) = O((|u|+|\pa u|)^p)
\quad \text{as}\ \ (u,\pa u)\to 0.
$$
물론 위의 $\text{(NLKG)}$에서 $\eps>0$ 이고, 초기치는 모두 $f_j$, $g_j \in C_0^{\infty}(\R^n)$ 급으로 좋은 함수로 주어졌다고 가정한다.

[1], [2]에서 충분히 다루었듯이, 공간차원 $n$과 비선형항의 차수 $p$ 가 다음의 관계
$$
p>1+\frac{2}{n}
$$
를 만족하면 위의 연립 클라인 골든 방정식 $\text{(NLKG)}$에 대해서 SDGE (Small Data Global Existence)가 성립하고, 그 해는 자유해(Free Solution)로 근사된다 (이 용어들에 대해서는 바로 아래에서 구체적으로 언급한다). 이 결과는 80년대에 Klainerman, Shatah, Ponce 등에 의해 얻어진 매우 유명한 결과로, 구체적으로는 [3], [4], [5], [6]의 결과를 한 데 합친 결과이다. 결국 위 관계에서, $n\geq 3$ 이면, 비선형항의 차수가 2차 이상인 모든 경우에 대해서, SDGE가 성립하고, 그 해는 자유해로 근사된다. 따라서 이 결과로 커버되지 않는 경우, 즉 $$(n,p)=(1,2), (1,3), (2,2)$$
의 3가지 경우가 이른바 critical case가 된다. 물론 이 포스트에서는 이제부터 항상 $(n,p) = (1,3)$ 으로 고정한다. 즉, 지금부터는 $\text{(NLKG)}$에서 공간차원 $\boldsymbol{n=1}$, 비선형항의 차수 $\boldsymbol{p=3}$ 으로 항상 고정시키도록 한다.
 
2. SDGE와 자유해로의 근사

이 절에서는 앞서 몇 번 등장한 용어에 대해 자세히 정의해 둔다. 먼저 SDGE는 말 그대로 Small Data Global Existence이다. 즉 $\text{(NLKG)}$에 대해서 초기치가 충분히 작으면 Global Solution이 유일하게 존재한다는 것이다. 좀 더 자세하게 쓰면,
$$
\exists \eps_0>0 \text{ s.t. } \eps \in (0, \eps_0] \Rightarrow \exists !\; u \text{ sol. of (NLKG) in } C^\infty ([0,\infty) \times \R^n)
$$
정도로 표현하면 되겠다. 다음 용어를 소개하기 전에, 먼저 Energy를 정의하자. 질량 $m$의 클라인 골든 방정식에 대해서 Energy는 일반적으로 다음의 $L^2$ 적분
$$
\| u(t)\|_{E_m} = \left( \frac{1}{2} \int_{\R^n} |\pa_t u(t,x)|^2 + |\nabla_x u(t,x)|^2 + m^2 |u(t,x)|^2 \,dx \right)^{1/2}
$$
으로 정의한다. 또 어떤 비선형 편미분방정식의 자유해(Free Solution) 라는 것은 적당한 초기조건하에서 비선형항 $F=0$ 인 경우의 해를 지칭하는 말이다. 구체적으로 위의 $\text{(NLKG)}$의 자유해 $u^{\text{free}}$ 는
$$
\left\{
\begin{array}{l}
(\Box + m_j^2)u_j^{\text{free}} = 0, \\
(u_j^{\text{free}}, \pa_t u_j^{\text{free}})|_{t=0}\in H^1 \times L^2
\end{array}
\right.
$$
의 해를 지칭하는 용어이다. 이제 해가 (물론 Global Solution이) “자유해로 근사된다” 를 정의할 차례다. 물론 이 용어에 대해서는 여러가지 버전이 있지만, 여기서는 위에서 소개한 Energy를 이용해서 정의하도록 한다. 즉, $\text{(NLKG)}$의 Global Solution $u$ 가 자유해로 근사된다는 말은 $u$ 가
$$
\lim_{t\to\infty} \sum_{j=1}^N \| u_j(t) – u_j^{\text{free}}(t) \|_{E_{m_j}} =0
$$
를 만족하는 상황을 의미한다.

* 여기서 잠깐, 왜 이런 괴상한(?) 개념을 도입했는지 한 번 생각해 보자. 예를 들어 초기치가 충분히 작다고($\eps \ll 1$) 해 보자. 그러면 단순무식하게(?) 생각해서, 충분히 큰 비선형항의 차수 $p$에 대해서 시간이 아주 많이 흘렀을 경우 우리는 해가 자유해처럼 행동하기를 기대할 수 있다 (가령 $p=3$ 이라고 하면 $(0.1)^3 = 0.001, \cdots$ 의 느낌이라고 하면 될려나?). 하지만 기대는 기대일뿐! 초기치가 충분히 작다고 하더라도, 해가 유한시간 내에 폭발해 버린다던지, 또는 Global Solution이 존재한다 하더라도 그 해가 자유해와 전혀 다르게 행동하는 경우가 비일비재(非一非再)하다.

 
3. 단독 ($\boldsymbol{N=1}$)인 경우에 대한 최신 결과

이제 $\text{(NLKG)}$에 대하여 연립인 경우($N\geq 2$)를 살펴보기에 앞서, 먼저 단독인 경우($N=1$)에 대한 결과들을 살펴보자. 단독이므로, 간단히 질량은 $m=1$ 로 고정시켜도 일반성을 잃지 않는다. 1차원 클라인 골든 방정식의 경우, 데이터가 충분히 작다고 가정하더라도, 일반적으로는 SDGE를 기대하기 어렵다. 즉, 비선형항 $F$의 구조에 따라서 수많은 결과들이 산재해 있다. 예를 들어, [7]에 의하면
$$
F = u_t^2 u_x
$$
일 경우, $\text{(NLKG)}$의 해 $u$가 유한시간 내에 폭발하게 된다. 하지만 [8]에 의하면, 만일
$$
F = 3u u_t^2 – 3uu_x^2 -u^3
$$
인 경우, $\text{(NLKG)}$는 SDGE를 만족하고, 그 해는 자유해로 근사된다. [9]에서는 위 형태를 커버하는 더 많은 $F$에 대해서 SDGE가 성립하고, 그 해가 자유해로 근사된다는 것이 증명되어 있다. 그러면 여기서 다음과 같은 질문을 자연스럽게 할 수 있다.

“특정한 $F$에 대해 SDGE가 성립한다면, 그 해는 항상 자유해로 근사되는가?”

90년대 후반까지 이 질문에 대한 대답은 나오지 않고 있었다. 그러던 중 2001년 Delort는 [10]에서 만일
$$
F = u^3
$$
이라면 $\text{(NLKG)}$에 대해 SDGE는 성립하지만, 그 해는 자유해로 근사되지 않는다는 사실을 증명한다. 구체적으로 이 경우 해 $u$ 는 다음과 같이 행동한다:
$$
u(t,x)
=
\frac{1}{\sqrt{t}} \text{Re}\left(
a(x/t)
e^{i\{(t^2-x^2)_+^{1/2} -\frac{3}{8} (1-|x/t|^2)_+^{1/2} |a(x/t)|^2 \log t\}}
\right)
+o(t^{-1/2}), \qquad t \to \infty.
$$
여기서 $(\, \cdot\, )_+=\max\{\cdot, 0\}$ 이고, $a(y)$ 는 $y=x/t$ 를 변수로 가지는 smooth한 복소함수로 $|y|\ge 1$ 이면 $0$ 이 되는 적당한 함수이다. 여기서 $L^\infty$ decay를 살펴보면, 위 근사공식에 의해 해는 $O(t^{-1/2})$의 order로 감소하게 됨을 바로 알 수 있다(참고로 자유해의 $L^p$ decay는 $O(t^{-(1/2-1/p)}), \; 2\le p\le \infty$ 임이 잘 알려져 있다). 실제로 자유해는 다음과 같이 행동하는데:
$$
u^{\text{free}}(t,x)
=
\frac{1}{\sqrt{t}} \text{Re}\left(
a(x/t) e^{i (t^2-x^2)_+^{1/2} } \right)
+o(t^{-1/2}),
\qquad t \to \infty,
$$
Delort의 근사공식과 비교했을 때 위상 부분이 조금 차이가 나는 것을 알 수 있다. 따라서 $F = u^3$ 인 경우, SDGE는 성립하지만 그 해는 자유해와 사뭇 다르게 행동한다는 사실을 바로 알 수 있게 된다.

마지막으로 Nonlinear Dissipation, 즉 $F = -(\pa_t u)^3$ 인 경우를 살펴보자. 이 경우에도 Delort가 사용한 방법을 변형하여 쓸 수 있다. 실제로 Sunagawa는 [11]에서 이 경우 SDGE가 성립하고, 그 해는
$$
u(t,x) = \frac{t^{-1/2}\text{Re} \left(a(x/t)e^{i(t^2 – |x|^2)_+^{1/2}} \right)}{\sqrt{1+\frac{3}{4}|a(x/t)|^2(1-|x/t|^2)_+^{-1}\log t}} + O \left(t^{-1/2} (\log t)^{-3/2} \right), \qquad t \to \infty
$$
와 같이 행동함을 증명하였다. 물론 이 때 $L^\infty$ decay 를 살펴보면, 위 근사공식의 분모의 $\log t$ 의 도움을 받아, 해는 $O(t^{-1/2}(\log t)^{-1/2})$ 의 order로 감소해 감을 알 수 있다. 즉, 이 경우 해는 자유해의 decay에 비해 $(\log t)^{-1/2}$ 만큼의 추가적인 decay를 얻게 된다.
 
4. 연립 ($\boldsymbol{N\ge 2}$)인 경우에 대한 최신 결과

연립인 경우에는 상황이 아주 복잡해진다. 즉 위 $\text{(NLKG)}$에서 비선형항 $F_j$ 의 형태 뿐만 아니라, 질량 $m_j$ 들의 변화에 따라서도 결과가 판이하게 달라진다. 간단하게 표현하기 위해서 여기서는 $N=2$ 인 경우의 특정한 예들만을 다루도록 하겠다 (물론 아래 reference들은 $N\in\N$ 을 다루고 있지만 큰 틀을 보기에는 2차 연립방정식으로도 충분하다).

먼저 다음과 같은 형태의 2차 연립 방정식을 생각해 보자:
$$
\text{(S1)}\left\{
\begin{array}{l}
(\Box + m_1^2)u_1 = F_1(u_2,\pa_t u_2, \pa_x u_2), \\
(\Box + m_2^2)u_2 = F_2(u_1,\pa_t u_1, \pa_x u_1).
\end{array}
\right.
$$
[12]에 의하면, 만약 질량들이 다음의 질량조건
$$
(m_1 – 3m_2)(m_1-m_2)(3m_1-m_2) \neq 0
$$
을 만족한다면, 비선형항 $F$ 에 어떤 구조적인 제약 없이도, $\text{(S1)}$ 은 SDGE를 만족하며, 그 해는 자유해로 근사되게 된다. 따라서 지금부터 우리의 관심은 위의 질량 조건이 성립하지 않는 경우이다 (그런 경우를 보통 Mass Resonance 라고 한다). 즉 우리의 관심은 이제 질량이
$$
m_1 = 3m_2, \qquad m_1 = m_2, \qquad m_2 = 3m_1
$$
인 경우에 한하게 된다. 가장 간단한 $m_1 = m_2$ 의 경우에 대해 살펴보자. 이 경우에는 다음의 연립방정식:
$$
\text{(S2)}\left\{
\begin{array}{l}
(\Box + 1)u_1 = (u_1^2 + u_2^2) u_1, \\
(\Box + 1)u_2 = (u_1^2 + u_2^2) u_2
\end{array}
\right.
$$
에 대한 [14]의 결과가 있다. [14]에 의하면, $\text{(S2)}$에 대해서 SDGE가 성립하고 그 해는 $O(t^{-1/2})$의 $L^\infty$ decay를 만족한다. 여기서 잠깐, $U=u_1 + iu_2$로 본다면, $\text{(S2)}$는 위에서 언급한 단독 방정식 $(\Box + 1)u = u^3$ 의 복소수 버전으로 볼 수 있다. 단독인 경우에는 [10]에서와 같이 SDGE가 성립하고, 그 해는 자유해로 근사되지만, 거기서 사용한 방법은 $\text{(S2)}$ 에 적용하기 어렵다. 결국 [14]에서는 별도의 방법을 사용하여 SDGE를 보였고 decay도 자유해의 decay와 같다는 것을 보였지만, 긴 시간이 흐른 후 해가 구체적으로 어떻게 행동하는지에 대해서는 일종의 예상만을 하고 있다.

이 즈음하여 우리는 다음과 같은 질문을 자연스럽게 던질 수 있다.

“Mass Resonance일 경우 SDGE가 성립한다면,
그 해는 적어도 자유해의 decay와 같거나 빠르게 감소하는가?”

이 질문에 대한 대답은 “No” 이다. 구체적으로 다음의 연립방정식:
$$
\text{(S3)}\left\{
\begin{array}{l}
(\Box + m_1^2)u_1 = \alpha u_2^4, \\
(\Box + m_2^2)u_2 = \beta u_1^3
\end{array}
\right.
$$
을 생각해 보자. 여기서 간단히 $m_1 \le m_2$ 로 두고, $\alpha, \beta \in \R$ 이라고 하자. [13]에 의하면, $\text{(S3)}$의 해는 다음의 근사공식을 만족한다:
$$u_1(t,x) = \frac{1}{m_1 \sqrt{t}} \text{Re} \left( a(x/t)e^{im_1(t^2 – |x|^2)_+^{1/2}} \right) + O(t^{-1+\delta}),$$
$$ u_2(t,x) = \frac{1}{m_2 \sqrt{t}}\text{Re} \left((A(x/t)\log t + b(x/t)) e^{im_2(t^2 – |x|^2)_+^{1/2}} \right)+O(t^{-1+\delta}).$$
여기서 $\delta$ 는 충분히 작은 양수이며, $a(y), b(y)$ 는 smooth한 복소함수로 위에서와 마찬가지로 $|y|\ge 1$ 일 때 0이 되는 적당한 함수이다. 여기서 주목할 것은 함수 $A(x/t)$ 이다. [13]에 의하면, Mass Resonance 이외의 경우에는 $A(x/t)$ 가 0이 되어 자유해로 근사되지만, 만일 Mass Resonance의 경우 (즉, $m_2=m_1$ or $m_2=3m_1$ 인 경우)에는 $A(x/t)$ 가 여전히 생존하게 된다. 즉, 위 $u_2$ 의 근사공식에서 괄호 안의 $\log t$ 때문에 $u_2$는 최소한 $O(t^{-1/2}\log t)$ 보다 빨리 감소하지 못하게 되어 버린다. 따라서 우리는 [13]을 통해, 자유해의 decay order인 $O(t^{-1/2})$ 조차도 Mass Resonance의 경우에는 일반적으로 기대하기 힘들다는 결론을 내릴 수 있다.

하지만 Mass Resonance인 경우라 하더라도, 특정한 구조의 비선형항에 대해서는 자유해의 decay order 혹은 심지어 그보다 빠른 decay order 도 기대할 수도 있다. 예를 들어 다음과 같은 Nonlinear Dissipation 형태의 비선형항을 갖는 연립방정식을 생각해 보자:
$$
\text{(S4)}\left\{
\begin{array}{l}
(\Box + 1)u_1 = -\left( (\pa_t u_1)^2 + (\pa_t u_2)^2\right)\pa_t u_1, \\
(\Box + 1)u_2 = -\left( (\pa_t u_1)^2 + (\pa_t u_2)^2\right)\pa_t u_2.
\end{array}
\right.
$$
[15]에 의하면, $\text{(S4)}$에 대해서 SDGE가 성립하고, 그 해는 $O(t^{-1/2}(\log t)^{-1/2})$ 의 $L^\infty$ decay order, 즉 자유해의 decay order 보다 빠르게 감소하게 된다.

이처럼 1차원 연립 클라인 골든 방정식의 Mass Resonance 상황에서는 해에 대해 그 무엇도 쉽사리 말할 수 없다고 볼 수 있다. 쓰다 보니 내용이 좀 난잡하게 된 감이 없지 않아 있는데, 다음 포스트에서는 표 등의 툴을 이용해서 결과들을 조금 더 명확히 정리하고 남은 과제는 무엇인지 한 번 살펴볼까 한다.
 
References.

  1. Leun Kim, 근황 : Klein-Gordon Equation 연구 (2013년 4월 13일).
  2. Leun Kim, History of Some Major Works to the Klein-Gordon equations.
  3. J. Shatah, Global existence of small solutions to nonlinear evolution equations, J. Differential Equations, 46 (1982), 409-425.
  4. S. Klainerman and G. Ponce, Global small amplitude solutions to nonlinear evolution equations, Comm. Pure Appl. Math., 36 (1983), 133-141.
  5. S. Klainerman, Global existence of small amplitude solutions to nonlinear Klein-Gordon equations with small data in four space-time dimensions, Comm. Pure Appl. Math., 38 (1985), 631-641.
  6. J. Shatah, Normal forms and quadratic nonlinear Klein-Gordon equations, Comm. Pure Appl. Math., 38 (1985), 685-696.
  7. B. Yordanov, Blow-up for the one-dimensional Klein-Gordon equation with a cubic nonlinearity, unpublished work, 1995.
  8. K. Moriyama, Normal forms and global existence of solutions to a class of cubic nonlinear Klein-Gordon equations in one space dimension, Differential Integral Equations, 10 (1997), 499-520.
  9. S. Katayama, A note on global existence of solutions to nonlinear Klein-Gordon equations in one space dimension, J. Math. Kyoto Univ., 39 (1999), 203-213.
  10. J. M. Delort, Existence globale et comportement asymptotique pour l’equation de Klein-Gordon quasi lin’eaire `a donn’e es petites en dimension 1, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.(4), 34 (2001), 1-61.
  11. H. Sunagawa, Large time behavior of solutions to the Klein-Gordon equation with nonlinear dissipative terms, J. Math. Soc. Japan, 58 (2006), 379-400.
  12. H. Sunagawa, On global small amplitude solutions to systems of cubic nonlinear Klein-Gordon equations with different mass terms in one space dimension, J. Differential Equations, 192 (2003), 308-325.
  13. H. Sunagawa, Large time asymptotics of solutions to nonlinear Klein-Gordon systems, Osaka J. Math., 42 (2005), 65-83.
  14. H. Sunagawa, Remarks on the asymptotic behavior of the cubic nonlinear Klein-Gordon equations in one space dimension, Differential Integral Equations, 18 (2005), 481-494.
  15. D. Kim and H. Sunagawa, Remarks on decay of small solutions to systems of Klein-Gordon equations with dissipative nonlinearities, Nonlinear Analysis, 97 (2014), 94-105.

 

오사카 미노 (미노오) – 흑마타고 마을 산책 4 (大阪箕面牧落)

흑마(黒馬)를 타고 장을 보고 오는 길에, 또 마을을 한 번 담아 보았습니다.
언제나 조용하고 한적한 우리 마을…
 
오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

한큐전철 미노센(阪急箕面線)이 지나가는 건널목입니다.
앞 쪽으로 주욱 가면 마키오치역(牧落駅), 뒤로 가면 사쿠라이역(桜井駅)이 나오지요.
이 곳은 그 중간 지점 정도 되는 곳이네요.




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

저기 제 흑마가 보이네요. 앞 바구니에는 일용할 식량을 가득 채웠습니다 헤헤.




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

건널목 안전바(?)의 구조랄까..




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

제 흑마에 붙어 있는 스티커들.
자전구 구입처, 平成24년도 오사카대학 주차권,
레오팔레스 주차권, 平成25-26년도 오사카대학 주차권
이 차례로 붙어 있네요.




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

우리 마을을 지켜주는 수호신 나무




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

날씨가 제법 쌀쌀해졌는데도 꽃봉오리가?!




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

마을 모습 1




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

전봇대는 위험해 !




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

마을 모습 2




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

마을 모습 3




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

여기는 죽은이를 모셔 놓은 곳 같습니다.




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

마을 모습 4




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

마을 모습 5




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

마을 모습 6




오사카 미노 마을 Osaka Minoh 大阪箕面

후 이제 거의 집에 다 왔네요.
아 물론 저기 보이는 파란 집들은 우리 집이 아닙니다 헤헤.

 

오사카 텐진바시스지 6쵸메 탐방 (大阪天神橋筋6丁目)

오늘은 짬을 내어 텐진바시스지 6쵸메(天神橋筋6丁目)를 탐방했습니다.
뭐 사실 그리 큰 마을은 아닌것 같았지만 우리 마을(1 2 3 4 5 6 7 8 9)에 비하면…orz
 
大阪天神橋6丁目 오사카 텐진바시스지 드럼매니아 기타프릭스

맥도날드도 보이고..
저 통로로 한 번 들어가 보겠습니다.




大阪天神橋6丁目 오사카 텐진바시스지 드럼매니아 기타프릭스

음.. 역시 줄지어 늘어선 상점가들.
일본에는 이런 형태의 상점가들이 참 많은 것 같습니다..
가운데 천정은 높은 아치형으로 되어 있고, 양 옆으로 쭈욱 늘어선?




大阪天神橋6丁目 오사카 텐진바시스지 드럼매니아 기타프릭스

역시 이곳도 자전거 홍수.




大阪天神橋6丁目 오사카 텐진바시스지 드럼매니아 기타프릭스

저희 마을에서는 절대 찾을 수 없었던 오락실!
(사실 돌이켜보면 마을에 오락실 없는게 천만 다행일지도..)
한 번 들어가 보겠습니다.




大阪天神橋6丁目 오사카 텐진바시스지 드럼매니아 기타프릭스

학생들이 기타도라(GiTADORA)를 하고 있길래 찍어 봤습니다.
드럼매니아, 기타프릭스의 XG3 버전이 망하고 새로 런칭한 브랜드라고 하네요.
뭐, 거의 비슷해 보입니다만.




大阪天神橋6丁目 오사카 텐진바시스지 드럼매니아 기타프릭스

텐진바시스지 6쵸메 오락실 조이랜드 내부 모습.
기타도라를 플레이하려고 늘어선 줄이 보이네요.




大阪天神橋6丁目 오사카 텐진바시스지 드럼매니아 기타프릭스

2층으로 올라가는데 미쿠짱이 있어서 찍어 줬습니다..
역시 오락실엔 미쿠짱이 빠질 수 없지요.

 

오사카 루미나리에 2013 (大阪ルミナリエ, Osaka Luminarie)

Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

오사카 요도야바시(淀屋橋) 주변에서 루미나리에를 한다길래 한 번 가 봤습니다.
우메다에서 한 정거장 거리인 요도야바시이기 때문에 비교적 가기 수월한!




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

미도스지선(御堂筋線) 요도야바시역에 도착했습니다!




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

오사카시 시청방면 1번출구로 나왔더니 저런 안내 표지판이 있네요.
오사카 루미나리에의 정식 타이틀은 光の饗宴!
시청 쪽으로 한 번 가 보겠습니다.




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

여기가 입구인가 보네요.
쭈욱 따라 들어갑니다..




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

적절한 수의 사람들.




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

계속 해서 길을 따라 가 봅니다.




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

드디어 시청 뒷편에 도착했습니다.
10분 간격으로 시청에다가 레이저를 쏘는 공연을 하고 있네요.
아마도 이 레이저 쇼가 오사카 루미나리에의 메인이 아닐까 합니다..




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

그럼 사진 대량 투하..


Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ
Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ
Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ
Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

캠코더도 갖고 가서 찍어 봤습니다.






Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

레이저 쇼는 한 5분 정도 진행하더군요.
10분마다 똑같은걸 계속 해주기 때문에 놓치셨다고 상심하지 마시길!




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

시청 뒷 쪽 길도 걸어가 봤습니다.




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

흠 뒤에서 또 레이저 쇼를 틀어주네요.




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ


Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

주변에는 이런 술집도 있었습니다.




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

맥주 한 잔 할까 했지만 사람이 많아서 패스..




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

여러가지 음식들을 팔고 있는 노점상들도 있고..




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ


Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

음식점들의 모습.




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

밤 9시 쯤 되니 레이저 쇼가 완전히 끝났습니다.
왼쪽 상단 부분이 고장난 듯 하네요.




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

마지막으로 정면에서 찍어주고…




Osaka Luminarie 오사카 루미나리에 大阪ルミナリエ

밤 늦게 주변에서 술을 즐기는 오사카 시민들의 모습.
고베 루미나리에 등에 비하면 규모는 상당히 작았습니다만,
뭐 그럭저럭 볼 만 했던 것 같습니다.

 

[M2 Seminar II] 석사논문 Abstract 완성 (MS Thesis Abstract)

2013년 12월 16일 (월)

학교로부터 제출용, 자료 배포용으로 석사논문 간이(簡易) Abstract를 2페이지 이내로 압축해 달라는 알림을 받았다. 그래서 일단 전체 TeX를 복사 + 붙여넣기 한 후 하나하나씩 줄여 나가기 시작… 그런데 이거도 보통 힘든 일이 아니다. 폰트 크기를 줄이고, 참고문헌 압축하고, 쓸데없는 낱말들 줄이고, 여백 왕창 줄이고 해서 결국 2페이지 이내로 완성..


Abstract_MS_thesis_2013.pdf

오늘 아침 석사 1년차 데자키군의 세미나에 참석했더니, 지도교수도 Abstract가 이걸로 크게 문제 없겠다는 반응을 보였다. 오후에는 지도교수로부터 지적받은 몇몇 곳을 수정했다.
 

 

[출장 06] 피치항공 막차 – 간사이공항 – 남바역 : 무인호텔 체험

대전역에서 광명역, 광명역에서 인천공항까지 허겁지겁 도착.
피치항공 마지막 밤 비행기를 타고 오사카 간사이공항에 무사히 도착했습니다!
 
간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

날씨가 좋지 않아 예정시간보다 좀 늦게 도착했습니다.
간사이 공항 관제탑에서 나쁜 기상 탓인지, 좀처럼 착륙허가를 내 주지 않더군요.




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

미리 도착해 있는 다른 피치항공 비행기들.




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

제가 타고 온 피치항공 비행기입니다.
비가 추적추적 내리는 날씨, 하지만 기온은 굉장히 따뜻했습니다.
역시 인천이 춥긴 춥네요.




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

피치항공은 간사이공항 제2터미널에 착륙하기 때문에,
지하철을 타려면 제1터미널까지 가야합니다.
6분 간격으로 두 터미널을 이어주는 버스가 있으니 안심!
제1터미널에 내려서 난카이 전철 막차를 타기위해 이동중입니다.




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

약 50여분을 달려 종점 남바(難波)에 도착했습니다!




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

텅 빈 지하철역, 아직 12시도 안되었건만!
집으로 가기 위해선, 우메다(梅田)역까지 간 다음 한큐전철로 환승해야 하는데..
아무리 생각해도 시간을 맞출 수 없을 듯 합니다.




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

오기 전에 컴퓨터로 남바역부터 이시바시역까지 택시요금을 알아 보았는데…
무려 8500엔(10만원 가량)!
그냥 남바에서 10만원 이하 호텔에서 묵으면 이득이라고 자위(自慰)하고…
남바역 주변 호텔을 물색하기 시작했습니다.




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

남바역 주변 무인호텔 U’s(ユーズホテル, 유즈호텔)가 괜찮아 보였습니다.
18세 미만은 출입금지라고 되어 있었습니다만,
무인호텔이라 그런지 중고등학생 커플들이 많이 눈에 띄었습니다.

로비에 들어갔더니 각기 다른 디자인의 방들이 저를 기다리고 있더군요.
대형 스크린 자판기에 이와같이 방들이 전시되어 있었는데…
놀란 것은 100여개의 객실 중 똑같은 방이 하나도 없다는 것!
저는 가장 저렴한 D랭크의 방 중 하나를 골랐습니다.




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

표를 뽑고 들어갔더니 이렇게 계산기가 있습니다.
여기서 숙박비를 계산하는 순간 출입문은 자동으로 잠기게 되니 주의합시다!
(물론, 카운터에 전화하면 외출이 가능합니다)
체크아웃할 때 정산을 하게 되면, 출입문이 열리게 됩니다.




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

만일의 사태를 대비해..
계산하지 않더라도 문을 따고 탈출할 수 있는 장치는 마련되어 있었습니다.




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

객실 내부에서 판매하는 다양한 제품들.
로션, 치약, 핫 젤, 멤버스카드, 팬티, 스타킹을 판매하고 있네요.




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

아래 냉장고 겸 자판기에서는 음료수를 판매하고 있었습니다.
저 빨간 버튼을 누르는 순간 시스템은 구매했다고 판단하게 됩니다.
아까 보았던 기계에서 다시 정산을 해 주지 않으면 현관문은 열리지 않습니다.




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

그렇게 짐을 풀고 휴식을 취합니다.
그런데 배가 고프네요 흑흑.
카운터에 전화해서 현관문 열어달라고 하고 먹을걸 사러 외출했습니다.




간사이 공항 남바역 무인호텔 유즈

주변에 버거킹이 있길래 햄버거를 사 왔습니다.
냠냠 배를 채우고 예능프로 좀 보다가 잠을 잤네요.
이로써 저의 짧은 겨울 대전 출장은 끝 !


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[출장 04] 대전 은행동 으느정이 스카이로드 야경 (Daejeon Skyroad)
[출장 05] 대전역에서 인천공항가는 가장 빠른 길 ?
[출장 06] 피치항공 막차 – 간사이공항 – 남바역 : 무인호텔 체험

 

[출장 05] 대전역에서 인천공항가는 가장 빠른 길 ?

월요일 아침이 밝았습니다!
오늘은 아침에 대구에서 올라오는 익룡을 만나서 시간을 떼우고,
은행동에서 업무를 본 후 밤에 오사카로 돌아가는 피곤한 일정입니다.
 
대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

대전의 명물 성심당 빵집 앞에 기다리고 있으니 어느새 나타난 익룡!
역시 변함없는 동안을 유지하고 있었습니다.

광명역으로 가는 중에 성심당의 튀김소보로를 먹어 보았는데 뭐 맛은 그럭저럭.
(긴 줄을 선 것에 비하면)




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

대전역에서 KTX를 타고 광명역에 도착했습니다.
광명역 6번 출구로 나와서 공항버스를 탈 준비를 합니다.
대전에서 인천공항까지 가는 가장 빠른 방법은..

“대전역KTX” – “광명역KTX” – “공항버스”

라는군요.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

광명역에서 인천공항을 가기 위해 공항버스를 기다리고 있습니다.
인천공항까지의 공항버스는 약 30분마다 있더군요.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

6004번은 광명역 – 인천공항 직통!




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

6014번은 김포공항까지만 운행합니다.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

드디어 버스가 오는군요.
비가 내려서 그런지 예정시각보다 10분 정도 늦게 공항버스가 도착했네요.
요금은 1만원을 현금으로 넣고 타시면 됩니다.
미리 예매는 안되더군요.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

드디어 인천공항에 도착 !
인천공항도 꽤 오랜만에 와 보네요.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

출국 수속을 마치고, 게이트에 도착했습니다.
그 와중에 제가 탈 피치항공 비행기가 보이네요.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

피치항공.. 이번 짧은 여행에 처음으로 이용해 보았습니다만,
가격대비 굉장히 만족스러웠습니다.
비행기도 생각보다 컸고, 흔들림도 거의 없었고..
다만 이처럼 좌석 간격이 굉장히 좁다는 것 정도가 단점..


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[출장 04] 대전 은행동 으느정이 스카이로드 야경 (Daejeon Skyroad)

이제 대전 은행동 으느정이 거리 스카이로드를 탐방하기로 했습니다.
사실 오늘은 은행동에서 별로 할 일도 없어서…
 
대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

저기 보이는 흰 구조물이 스카이로드인데, 밤이 되면 동작한다는군요.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

오오 이제 슬슬 스카이로드에 불이 들어오는군요.
그냥 가기는 아쉬워 영상을 좀 담아봤습니다.
 





대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

쉴 새 없이 새로운 영상을 내보내주는 스카이로드 !
이거 대전의 명물로 등극하나요?!




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

여러가지 광고들도 나오고…




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

출출해져서 은행동 맥도날드에 들러서 햄버거를 먹었습니다.
몰랐는데 감자튀김이 일본 맥도날드와 맛이 좀 다르더군요.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

그렇게 배를 채우고 나오니 또 다시 시작된 스카이로드 쇼.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

은행동 으느정이 문화의거리에는 이렇게 포장마차들도 많이 눈에 띄었습니다.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

대전 스카이로드, 가동한지 얼마 되지 않았군요!




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

그렇게 은행동 거리를 거닐며 시간을 떼우고 있습니다..




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

뒷골목도 한 번 가 보고…




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

문화의 거리 한 가운데 자리잡고 있는 포장마차 “선영이네”




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

그리고 그 옆 “염통전문”과 “짱구네”




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

그리고 쓰레기들!




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

거리 전체가 쓰레기통이라 쓰레기를 마음대로 버릴 수 있었습니다.
쓰레기를 눈치 안보고 맘껏 버릴 수 있는 것도 한국의 매력 아닐까요?




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

스카이로드 끝에는 어린이들을 위한 공간도 있었습니다.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

술집 “술술동동”




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

마치 야외 클럽을 방불케 하는 대전 은행동의 스카이로드.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

그리고 은행동 근처 숙소로 돌아가는 길에 만난 군밤장수 아저씨.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

시내 끝에 위치해 있는 노리존.




대전역 중앙로역 은행동 스카이로드

중고등학생들이 많이 이용하는 듯 했습니다.
이제 내일은 아침에 대전에서 공부하는 익룡이야를 만나고,
일도 처리를 해야 되서 일찍 자야겠습니다.


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[출장 03] 대전역 – 중앙로역 은행동 문화의 거리 탐방

드디어 대전역에 도착했습니다!
딱히 할 일이 없었던지라 근처 은행동에서 시간을 떼우기로…
 
대전역 중앙로역 은행동 문화의 거리

대전역 앞에서 한 방 찍어주고…




대전역 중앙로역 은행동 문화의 거리

허걱, 대전역 앞 큰 비석의 모습..




대전역 중앙로역 은행동 문화의 거리

사람들이 몰려가는 방향이 아마 은행동 방향인 듯 하네요.
조심스럽게 뒤따라 가 봤습니다.
가는 중에 이런 크고 구조물을 장착한 다리도 만날 수 있었습니다.
다리 이름이 목천교였나?




대전역 중앙로역 은행동 문화의 거리

다리를 건너면서 바라본 강의 모습




대전역 중앙로역 은행동 문화의 거리

대전 은행동 문화의거리에 도착했습니다.
허걱, 그런데 이 괴상한 구조물은 뭐죠?!




대전역 중앙로역 은행동 문화의 거리

“재미삼아 실내 야구 사격장”
안에 들어가서 빠따를 휘둘러 볼까 하다가 말았습니다.




대전역 중앙로역 은행동 문화의 거리

저 크고 흰 구조물만 제외한다면 한국의 일반적인 시내와 다를 바 없네요.
특히 은행동에서는 중고등학생들의 모습이 많이 눈에 띄었습니다.


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[출장 02] 부산 김해공항 공항역 – 사상역 : 와바, 신비요미용실

드디어 부산 김해공항에 도착!
부산에 온 김에 염동을 보러 이제 사상역으로 가 볼까 합니다.
 
김해공항 사상역 와바

입국 수속장으로 가고 있습니다.




김해공항 사상역 와바

무사히 입국을 끝내고, 김해경전철 공항역에 도착했습니다.
김해경전철로 사상역까지는 3정거장이더군요.




김해공항 사상역 와바

역시 이용객 대부분은 방금 피치항공을 타고 도착한 관광객들.
김해경전철은 2량 열차인데… 신기한 것은 기관사가 없이 자동으로 운전된다는 겁니다.
그 덕분에 보통은 기관사만 보는 정면 풍경을 감상할 수가 있었지요.




김해공항 사상역 와바

어느새 어두워졌네요.
사상역의 환락가.




김해공항 사상역 와바

그리고 근처에서 만난 프로그래머 염동.
뒤에 보이는 와바에서 맥주나 한잔 하기로 합니다.




김해공항 사상역 와바

와바 둔켈을 시음해 봤습니다.
뭐 맛은 그럭저럭…




김해공항 사상역 와바

그리고 염동이 찍어준 저의 모습…
몰랐는데 뒷머리가 상당히 덮수룩하네요.
저번에도 갔었던 사상역 근처 신비요 미용실로 가서 같이 머리를 잘랐습니다.
(특히 얼굴도 예쁘시고 실력도 갑이신 오정혜 디자이너 선생님을 강추 합니다!)




김해공항 사상역 와바

그렇게 염동과 헤어지고, 머리도 자르고, 부산역에 도착했습니다.
부산역 앞 엄청난 크리스마스 트리가 세워져 있네요.


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[출장 01] 오사카 간사이공항 – 김해공항 피치항공 탑승기 (Peach Air)

오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

대전에 볼 일이 있어 3일 정도 잠시 한국에 다녀 왔습니다.
이번에는 팬스타 크루즈가 아닌 저가항공 피치항공을 이용해 봤습니다!




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

먼저 집 근처 호타루가이케역(蛍池駅)에 도착했습니다.
여기서 오사카 간사이 공항까지 직통 공항리무진을 탑승할 수가 있지요.




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

공항 리무진에 탔습니다.
2년 전 여름 오사카대학에 입시를 치르러 올 때 탄 것이 전부인데,
창 밖 풍경을 보고 있으니 그 때 기억이 새록새록…




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

공항 리무진의 장점은 간사이공항 제2터미널까지 운행한다는 것입니다..
오사카의 피치항공의 경우 제1터미널에는 착륙하지 않고 제2터미널만 이용한다는군요.
그렇게 간사이공항 제1터미널을 지나서…




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

제2터미널에 도착했습니다!
역시 피치항공만 이용하는 간사이공항 제2터미널..횡하군요.




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

내부로 들어와 봤습니다.
뭐 누추한 외관과는 달리 그럭저럭 깔끔한 모습입니다.
편의점도 있었고, 작은 기념품 상점도 있었습니다.




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

수속을 하기 위해 피치항공에 도착!




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

보통 저기 보이는 기계로 자동 수속을 하더군요.
예약번호와 여권만 있으면 손쉽게 수속을 할 수 있습니다.




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

공항 내부에 있는 흡연실의 모습.
바깥 쪽에는 신기한 모양의 뫼비우스 담배들도 판매하고 있었습니다.




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

이 곳 공항에도 이제 슬슬 연말 분위기가 나네요.




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

공항 내부의 기념품 상점.




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

면세점의 모습.




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

비행기를 타기 위해 게이트를 빠져 나왔습니다.
아름다운(?) 피치항공 비행기의 모습이네요!




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

피치항공 비행기 내부의 모습.
뭐 걱정했던 것과 달리 비행기도 꽤 크고, 흔들림도 거의 없었습니다.
피치항공은 주로 일본인 관광객들이 이용하는 듯 합니다.
제가 탑승했을 때는 느낌상 9할이 일본인?




오사카 간사이공항 부산 김해공항 피치항공

드디어 부산 김해공항 도착!
역시 내려서도 한 번 찍어주고…


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[출장 04] 대전 은행동 으느정이 스카이로드 야경 (Daejeon Skyroad)
[출장 05] 대전역에서 인천공항가는 가장 빠른 길 ?
[출장 06] 피치항공 막차 – 간사이공항 – 남바역 : 무인호텔 체험

 

[M2 Seminar II] 세미나 발표를 무사히 끝내다

2013년 11월 30일 (토)

Osaka University PDE Seminar

그간 준비했던 세미나 (若手研究者による実解析と偏微分方程式 2013) 발표를 무사히 끝냈다. 발표가 끝나고 결과에 대한 질문들을 꽤 많이 받았지만 대답하기 난처했던 질문은 다행히 받지 않았다(지도교수의 지원사격도 주요했다). 제한된 시간도 적절히 맞추었고, 전달하려 했던 내용들은 대부분 전달할 수 있어서 다행스럽게 생각하고 있다.

세미나가 끝나고는 오사카대학 토요나카 캠퍼스 근처의 호타루가이케역(蛍池駅) 주변 술집에서 뒷풀이를 가졌다. 나는 오후 6시쯤 토요나카 캠 정문에서 박사과정 3년차 무로타니 선배와 만나서 같이 갔다. 도착해 보니 굉장히 많은 인원들이 와 있었다. 도쿄이과대학과 오사카대학을 합쳐 약 20여명 정도! 나는 미리 도착해 있던 석사 동기 오오무카이군과 야스에군이 앉아 있는 테이블에 앉아서 맥주를 마시고, 소소한 담화(?)를 나누었다.

그렇게 뒷풀이는 9시에 종료되었고, 나의 피 같은 돈 2,500엔이 뒷풀이 회비로 증발했다.
P.S. 교수들은 각각 5,000엔이 증발했다.

 

오사카대학 스이타캠퍼스 센리문앞 (大阪大学吹田キャンパス千里門)

아침 수업을 듣고 나서 센리문을 통해 하교하고 있습니다.
하교 하는 길에 심심해서 캠코더로 스이타 캠퍼스 모습을 좀 찍어 보았어요.
(물론 극히 일부지만..!)
 
오사카대학 스이타 캠퍼스 센리문 大阪大学吹田キャンパス

센리문 앞으로 펼쳐진 도로의 모습입니다.




오사카대학 스이타 캠퍼스 센리문 大阪大学吹田キャンパス

가는 길에 이런 야자수도 있네요.
이 곳의 온난한(?) 기후를 말해 주는 나무군요.
토요나카 캠퍼스에도 이런 야자수가 드문드문 보이던데..




오사카대학 스이타 캠퍼스 센리문 大阪大学吹田キャンパス

슬슬 점심시간이 다가오니, 사람들이 건물에서 나오기 시작하네요.




오사카대학 스이타 캠퍼스 센리문 大阪大学吹田キャンパス

드디어 스이타 캠퍼스 센리문에 도착했습니다.




오사카대학 스이타 캠퍼스 센리문 大阪大学吹田キャンパス

사실 오사카대학 스이타 캠퍼스의 정문은 반대쪽에 따로 있습니다만..
많은 학생들은 쪽문(?)격인 센리문을 주로 이용합니다.
(정문의 경우 걸어서 왕래하는 사람을 거의 찾아볼 수 없을 정도?!)




오사카대학 스이타 캠퍼스 센리문 大阪大学吹田キャンパス

그 이유는 센리문 가까이에 한큐 키타센리역이 위치하고 있기 때문이 아닐까 생각합니다.




오사카대학 스이타 캠퍼스 센리문 大阪大学吹田キャンパス

센리문 앞에 이렇게 생긴 나무가 있었는데,
엄청난 수의 파리들이 모여 있더군요.




오사카대학 스이타 캠퍼스 센리문 大阪大学吹田キャンパス

뭔가 열매에 달콤한 것이 있는듯한…




 

[Calculation 18] Some Useful Formulas from the Jacobi Triple Product

In this post, we introduce some useful formulas, which can be proved by the Jacobi Triple Product [2]. As before, we always denote $f$ as the Ramanujan Theta Function, which is defined in [3].
 

Corollary. If $|q|<1$ then,
\begin{align*}
&\text{(i) }f(q,q) = 1+2\sum_{k=1}^\infty q^{k^2} = \frac{(-q; q^2)_\infty (q^2; q^2)_\infty}{(q; q^2)_\infty (-q^2; q^2)_\infty},\\
&\text{(ii) } f(q, q^3) = \sum_{k=0}^\infty q^{k(k+1)/2} = \frac{(q^2; q^2)_\infty}{(q; q^2)_\infty},\\
&\text{(iii) } f(-q, -q^2) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k q^{k(3k-1)/2} + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k q^{k(3k+1)/2} = (q;q)_\infty.
\end{align*}
 

 
Proof. We recall the Jacobi Triple Product Formula:
\begin{equation}\tag{1}
f(a,b) = (-a; ab)_\infty (-b; ab)_\infty (ab; ab)_\infty.
\end{equation}
(i) The first equality is trivial from the definition of the Ramanujan Theta Function. For the second equality, replacing $a=b=q$ in (1), we obtain
\begin{eqnarray*}
f(q,q)
&=&
(-q; q^2)_\infty^2 (q^2; q^2)_\infty \\
&=&
\frac{(q^2; q^2)_\infty}{(q; q^2)_\infty^2 (-q^2; q^2)_\infty^2}\\
&=&
\frac{1}{(q; q^2)_\infty (-q^2; q^2)_\infty} \frac{(q^2; q^2)_\infty}{(q; q^2)_\infty (-q^2; q^2)_\infty} \\
&=&
\frac{1}{(q; q^2)_\infty (-q^2; q^2)_\infty} \frac{(q; q)_\infty (-q; q)_\infty}{(q;q^2)_\infty (-q^2; q^2)_\infty}\\
&=&
\frac{1}{(q; q^2)_\infty (-q^2; q^2)_\infty} (q^2; q^2)_\infty (-q; q^2)_\infty.
\end{eqnarray*}
 
(ii) The first equality is trivial from the definition of the Ramanujan Theta Function. And from the equation (1), we have
\begin{eqnarray*}
f(q; q^3)
&=&
(-q; q^4)_\infty (-q^3; q^4)_\infty (q^4; q^4)_\infty\\
&=&
(-q; q^2)_\infty (-q^2; q^2)_\infty (q^2; q^2)_\infty\\
&=&
\frac{(q^2; q^2)_\infty}{(q; q^2)_\infty}
\end{eqnarray*}
where we used
$$
(-q; q^4)_\infty (-q^3; q^4)_\infty = (-q; q^2)_\infty
$$
for the first equality and
$$
(-q; q^2)_\infty = \frac{1}{(q; q^2)_\infty (-q^2; q^2)_\infty}
$$
for the second equality.
 
(iii) The first equality is also tirival. For the second one, the equation (1) yields
$$
f(-q, -q^2) = (q;q^3)_\infty (q^2; q^3)_\infty (q^3; q^3)_\infty = (q; q)_\infty.
$$
$\square$
 
References.
[1] Bruce C. Berndt, Ramanujan’s Notebooks Part III, Springer-Verlag, pp. 36-38.
[2] Leun Kim, [Calculation 17] Jacobi Triple Product Formula.
[3] Leun Kim, [Calculation 15] Introduction to the Ramanujan Theta Functions.

 

단풍으로 물든 스이타 캠퍼스 (大阪大学吹田キャンパス)

이제 여기도 단풍이 절정(紅葉が見ごろ)에 이른 듯 하네요.
오늘 수업 들으러 오사카대학 스이타 캠퍼스에 다녀 왔는데 깜짝 놀랐습니다 헤헤.
날씨도 이상하게 따뜻해진 것 같고…
늘 그렇듯 이러다 갑자기 추워지겠죠 흑흑.
 
Osaka University Suita Campus Senri Gate

스이타 캠퍼스 센리몬 주변 1 (大阪大学吹田キャンパス千里門周辺 1)




Osaka University Suita Campus Senri Gate

스이타 캠퍼스 센리몬 주변 2 (大阪大学吹田キャンパス千里門周辺 2)




Osaka University Suita Campus Senri Gate

스이타 캠퍼스 센리몬 주변 3 (大阪大学吹田キャンパス千里門周辺 3)




Osaka University Suita Campus Senri Gate

스이타 캠퍼스 센리몬 주변 4 (大阪大学吹田キャンパス千里門周辺 4)




Osaka University Suita Campus Senri Gate

스이타 캠퍼스 센리몬 주변 5 (大阪大学吹田キャンパス千里門周辺 5)




Osaka University Suita Campus Senri Gate

스이타 캠퍼스 센리몬 주변 6 (大阪大学吹田キャンパス千里門周辺 6)




Osaka University Suita Campus Senri Gate

스이타 캠퍼스 센리몬 주변 7 (大阪大学吹田キャンパス千里門周辺 7)




Osaka University Suita Campus Senri Gate

스이타 캠퍼스 센리몬 주변 8 (大阪大学吹田キャンパス千里門周辺 8)

 

[Calculation 17] Jacobi Triple Product Formula

We introduce the Jacobi Triple Product Formula [1] here. Actually it can be easily obtained from the Ramanujan ${}_1\psi_1$ Summation Formula [2] with some proper coefficients. Here we denote $f$ as the Ramanujan Theta Function which is defined in [3] as
$$
f(a,b) = \sum_{k=-\infty}^\infty a^{k(k+1)/2} b^{k(k-1)/2}
$$
for $|ab|<1$. Then we have the following.
 

Theorem. (Jacobi Triple Product Formula)
$$
f(a,b) = (-a; ab)_\infty (-b; ab)_\infty (ab; ab)_\infty
$$
 

 
Proof. First, we recall the Ramanujan ${}_1\psi_1$ Summation Formula:
\begin{align}
&1+\sum_{k=1}^\infty \frac{(\frac{1}{\alpha}; q^2)_k (-\alpha q)^k}{(\beta q^2;q^2)_k} z^k
+
\sum_{k=1}^\infty \frac{(\frac{1}{\beta}; q^2)_k (-\beta q)^k}{(\alpha q^2;q^2)_k} z^{-k}\\
&=
\left( \frac{(-qz;q^2)_\infty (-q/z;q^2)_\infty}{(-\alpha qz; q^2)_\infty (-\beta q/z; q^2)_\infty} \right)
\left( \frac{(q^2;q^2)_\infty (\alpha \beta q^2;q^2)_\infty}{(\alpha q^2; q^2)_\infty (\beta q^2; q^2)_\infty} \right).
\end{align}
Setting $a = qz$, $b = q/z$ and $\alpha, \beta \to 0$ so that $q^2 = ab$ in (1), we deduce that
\begin{eqnarray*}
(\text{lhs})
&=& \sum_{k=-\infty}^\infty q^{k^2} z^k \\
&=& \sum_{k=-\infty}^\infty (qz)^{(k(k+1)/2} (qz^{-1})^{k(k-1)/2}\\
&=& \sum_{k=-\infty}^\infty a^{k(k+1)/2} b^{k(k-1)/2} \\
&=& f(a,b)
\end{eqnarray*}
and
\begin{eqnarray*}
(\text{rhs})
&=&
(-qz; q^2)_\infty (-q/z; q^2)_\infty (q^2; q^2)_\infty\\
&=&
(-a; ab)_\infty (-b; ab)_\infty (ab; ab)_\infty,
\end{eqnarray*}
which proves Theorem.$\square$
 
References.
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_triple_product
[2] Leun Kim, [Calculation 16] Ramanujan ‘s 1ψ1 (1-psi-1) Summation Formula.
[3] Leun Kim, [Calculation 15] Introduction to the Ramanujan Theta Functions.
[4] Burce C. Berndt, Ramanujan’s Notebooks Part III, Springer-Verlag, p. 35.

 

[Calculation 16] Ramanujan ‘s 1ψ1 (1-psi-1) Summation Formula

In this post, we will introduce one of the famous formulas discovered by Ramanujan, which is called Ramanujan’s ${}_1\psi_1$ Summation Formula. It was first introduced by Hardy, and he called it as “a remarkable formula with many parameters”. The first published proof was given by W. Hahn [1] in 1949.
 

Theorem. (Ramanujan’s ${}_1\psi_1$ Summation Formula)
If $|\beta q|< |z|<1/|\alpha q|$ then \begin{align*} &1+\sum_{k=1}^\infty \frac{(\frac{1}{\alpha}; q^2)_k (-\alpha q)^k}{(\beta q^2;q^2)_k} z^k + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\frac{1}{\beta}; q^2)_k (-\beta q)^k}{(\alpha q^2;q^2)_k} z^{-k}\\ &= \left( \frac{(-qz;q^2)_\infty (-q/z;q^2)_\infty}{(-\alpha qz; q^2)_\infty (-\beta q/z; q^2)_\infty} \right) \left( \frac{(q^2;q^2)_\infty (\alpha \beta q^2;q^2)_\infty}{(\alpha q^2; q^2)_\infty (\beta q^2; q^2)_\infty} \right). \end{align*}  

 
Proof. Define $g$ as
$$
g(z) = \frac{(-qz;q^2)_\infty (-q/z;q^2)_\infty}{(-\alpha qz; q^2)_\infty (-\beta q/z; q^2)_\infty}.
$$
Since $g(z)$ is analytic in the annulus, $|\beta q|< |z|<1/|\alpha q|$, we can write $$ g(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty c_k z^k, \qquad |\beta q|<|z|<1/|\alpha q|. $$ From the definition of $g$, we can easily check that \begin{equation}\tag{1} (\beta + qz) g(q^2 z) = (1+\alpha q z)g(z) \end{equation} provided that $|\beta q|<|q^2 z|$. Comparing the coefficients of $z^k$ in the equation (1), we find that \begin{equation}\tag{2} \beta q^{2k} c_k + q^{2k-1} c_{k-1} = c_k + \alpha q c_{k-1} \end{equation} for $-\infty < k < \infty$. Evaluating $c_k$ and $c_{-k}$ from (2), we obtain $$ c_k = - \frac{\alpha q (1-q^{2k-2}/\alpha)}{1-\beta q^{2k}} c_{k-1}, \qquad 1\le k < \infty $$ and $$ c_{-k} = - \frac{\beta q (1-q^{2k-2}/\beta)}{1-\alpha q^{2k}} c_{-k+1}, \qquad 1\le k < \infty, $$ where we replaced $k$ by $1-k$ in (2) to get the last equality. Iterating these relations, we deduce that \begin{equation}\tag{3} c_k = \frac{(-\alpha q)^k (1/\alpha;q^2)_k}{(\beta q^2; q^2)_k} c_0, \qquad 1\le k < \infty \end{equation} and \begin{equation}\tag{4} c_{-k} = \frac{(-\beta q)^k (1/\beta;q^2)_k}{(\alpha q^2; q^2)_k} c_0, \qquad 1\le k < \infty \end{equation} respectively. Therefore we obtain \begin{equation}\tag{5} g(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty c_k z^k = c_0 \left( 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{ (1/\alpha;q^2)_k (-\alpha q)^k}{(\beta q^2; q^2)_k} z^k + \sum_{k=1}^\infty \frac{ (1/\beta;q^2)_k (-\beta q)^k}{(\alpha q^2; q^2)_k} z^{-k}\right). \end{equation} Note that $g(z)$ has a simple pole at $z = - 1/\alpha q$. Multiply both sides of (5) by $1+\alpha q z$, and $z \to -1 / \alpha q$ to get $$ \lim_{z \to - \frac{1}{\alpha q}} (1+\alpha q z) g(z) = \frac{(1/\alpha; q^2)_\infty }{(\beta q^2 ; q^2)_\infty} c_0, $$ where we applied Abel's Continuity Theorem (see for example [3]). By the definition of $g(z)$, we obtain $$ \frac{(1/\alpha; q^2)_\infty (\alpha q^2; q^2)_\infty}{(q^2; q^2)_\infty (\alpha \beta q^2; q^2)_\infty} = \frac{(1/\alpha; q^2)_\infty }{(\beta q^2 ; q^2)_\infty} c_0 $$ so that \begin{equation}\tag{6} c_0 = \frac{(\beta q^2 ; q^2)_\infty (\alpha q^2; q^2)_\infty}{(q^2; q^2)_\infty (\alpha \beta q^2; q^2)_\infty}. \end{equation} Replacing $c_0$ in (6) into (5), we obtain the theorem for $|\beta / q| < |z| < 1 / |\alpha q|$. Analytic continuation yields the theorem for $|\beta q|< |z|<1/|\alpha q|$.$\square$
 

 
References.
[1] W. Hahn, Beiträge zur Theorie der Heineschen Reihen, Math. Nachr. 2 (1949), 340-379.
[2] Bruce C. Berndt, Ramanujan’s Notebooks, Part III, Springer-Verlag, pp. 31-33.
[3] G. E. Andrews, R. Askey and R. Roy, Special Functions, Cambridge University Press, pp. 502-505.